Taith i fyd afreal mathemateg

Ysgrifennais yr erthygl hon yn un o'r amgylcheddau, ar ôl darlith ac ymarfer mewn coleg cyfrifiadureg. Rwy'n amddiffyn fy hun yn erbyn beirniadaeth o fyfyrwyr yr ysgol hon, eu gwybodaeth, eu hagwedd at wyddoniaeth, ac yn bwysicaf oll: sgiliau addysgu. Mae hyn ... does neb yn eu dysgu.

Pam ydw i mor amddiffynnol? Am reswm syml - rydw i mewn oedran pan, mae'n debyg, nad yw'r byd o'n cwmpas yn cael ei ddeall eto. Efallai fy mod yn eu dysgu i harneisio a dadharneisio ceffylau, ac i beidio â gyrru car? Efallai fy mod yn eu dysgu i ysgrifennu gyda beiro cwils? Er bod gen i farn well am berson, rydw i'n ystyried fy hun yn “ddilyn”, ond…

Tan yn ddiweddar, yn yr ysgol uwchradd, buont yn siarad am rifau cymhleth. Ac ar y dydd Mercher hwn y deuthum adref, rhoi'r gorau iddi - nid oes bron yr un o'r myfyrwyr eto wedi dysgu beth ydyw a sut i ddefnyddio'r rhifau hyn. Mae rhai yn edrych ar bob math o fathemateg fel gwydd wrth ddrws paentiedig. Ond roeddwn i hefyd yn wirioneddol synnu pan wnaethon nhw ddweud wrtha i sut i ddysgu. Yn syml, mae pob awr o ddarlith yn ddwy awr o waith cartref: darllen gwerslyfr, dysgu sut i ddatrys problemau ar bwnc penodol, ac ati. Ar ôl paratoi yn y modd hwn, rydym yn dod i'r ymarferion, lle rydym yn gwella popeth ... Yn ddymunol, roedd y myfyrwyr, mae'n debyg, yn meddwl bod eistedd yn y ddarlith - yn fwyaf aml yn edrych allan o'r ffenestr - eisoes yn gwarantu mynediad gwybodaeth i'r pen.

Stopiwch! Digon o hyn. Disgrifiaf fy ateb i gwestiwn a gefais yn ystod dosbarth gyda chymrodyr o’r Gronfa Genedlaethol Plant, sefydliad sy’n cefnogi plant dawnus o bob rhan o’r wlad. Y cwestiwn (neu yn hytrach yr awgrym) oedd:

— A allech ddweud rhywbeth wrthym am rifau afreal?

“Wrth gwrs,” atebais. 

Y realiti o niferoedd

“Fi arall yw ffrind, cyfeillgarwch yw cymhareb rhifau 220 a 284,” meddai Pythagoras. Y pwynt yma yw mai swm rhanwyr y rhif 220 yw 284, a swm rhanwyr y rhif 284 yw 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Gyda llaw, nodwn fod y Beiblaidd Jacob wedi rhoi 220 o ddefaid a hyrddod i Esau fel arwydd o gyfeillgarwch (Genesis 32:14). ).

Cyd-ddigwyddiad diddorol arall rhwng y rhifau 220 a 284 yw hyn: y ddau ar bymtheg rhif cysefin uchaf yw 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , a 59.

Eu cyfanswm yw 2x220, a swm y sgwariau yw 59x284.

Yn gyntaf. Nid oes cysyniad o "rif real". Mae'n debyg ar ôl darllen erthygl am eliffantod, rydych chi'n gofyn, "Nawr rydyn ni'n mynd i ofyn am bobl nad ydyn nhw'n eliffantod." Mae yna gyfan a heb fod yn gyfan, yn rhesymegol ac yn afresymol, ond nid oes unrhyw afreal. Yn benodol: nid yw niferoedd nad ydynt yn real yn cael eu galw'n annilys. Mae yna lawer o fathau o "rhifau" mewn mathemateg, ac maent yn wahanol i'w gilydd, fel - i gymryd cymhariaeth sŵolegol - eliffant a mwydod.

Yn ail, byddwn yn perfformio gweithrediadau y gallech fod yn gwybod eu bod eisoes wedi'u gwahardd: tynnu gwreiddiau sgwâr rhifau negyddol. Wel, bydd mathemateg yn goresgyn rhwystrau o'r fath. Ond mae'n gwneud synnwyr? Mewn mathemateg, fel mewn unrhyw wyddoniaeth arall, mae p'un a yw damcaniaeth yn mynd i mewn am byth i'r ystorfa wybodaeth yn dibynnu ... ar ei chymhwysiad. Os yw'n ddiwerth, yna mae'n dod i ben yn y sbwriel, yna mewn rhywfaint o sbwriel o hanes gwybodaeth. Heb y niferoedd yr wyf yn sôn amdanynt ar ddiwedd yr erthygl hon, mae'n amhosibl datblygu mathemateg. Ond gadewch i ni ddechrau gyda rhai pethau bach. Beth yw rhifau real, wyddoch chi. Maent yn llenwi'r llinell rif yn ddwys a heb fylchau. Rydych chi hefyd yn gwybod beth yw rhifau naturiol: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - ni fydd pob un ohonynt yn ffitio i mewn cof hyd yn oed y mwyaf. Mae ganddyn nhw hefyd enw hardd: naturiol. Mae ganddyn nhw gymaint o briodweddau diddorol. Sut ydych chi'n hoffi hyn:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“Mae’n naturiol ymddiddori yn y niferoedd naturiol,” meddai Karl Lindenholm, a dywedodd Leopold Kronecker (1823–1891) yn gryno: “Duw greodd y rhifau naturiol—gwaith dyn yw popeth arall!” Mae gan ffracsiynau (a elwir yn niferoedd rhesymegol gan fathemategwyr) briodweddau rhyfeddol hefyd:

ac mewn cydraddoldeb:

gallwch chi, gan ddechrau o'r ochr chwith, rwbio'r manteision a rhoi arwyddion lluosi yn eu lle - a bydd y cydraddoldeb yn parhau i fod yn wir:

Ac yn y blaen.

Fel y gwyddoch, ar gyfer ffracsiynau a/b, lle mae a a b yn gyfanrifau, a b ≠ 0, maen nhw'n dweud rhif rhesymegol. Ond dim ond mewn Pwyleg maen nhw'n galw eu hunain yn hynny. Maent yn siarad Saesneg, Ffrangeg, Almaeneg a Rwsieg. rhif rhesymegol. Yn Saesneg: rational numbers. Rhifau afresymegol mae'n afresymol, yn afresymol. Rydym hefyd yn siarad Pwyleg am ddamcaniaethau, syniadau a gweithredoedd afresymol - gwallgofrwydd, dychmygol, anesboniadwy yw hyn. Maen nhw'n dweud bod merched yn ofni llygod - onid yw hynny mor afresymol?

Yn yr hen amser, roedd gan niferoedd enaid. Roedd pob un yn golygu rhywbeth, pob un yn symbol o rywbeth, pob un yn adlewyrchu gronyn o'r harmoni hwnnw o'r Bydysawd, hynny yw, mewn Groeg, y Cosmos. Mae'r union air "cosmos" yn golygu "trefn, trefn". Y rhai pwysicaf oedd chwech (y rhif perffaith) a deg, sef cyfanswm y rhifau olynol 1+2+3+4, yn cynnwys rhifau eraill y mae eu symbolaeth wedi goroesi hyd heddiw. Felly dysgodd Pythagoras mai rhifau yw dechrau a ffynhonnell popeth, a dim ond y darganfyddiad niferoedd afresymegol troi symudiad Pythagorean tuag at geometreg. Gwyddom y rhesymeg o'r ysgol hynny

Mae √2 yn rhif afresymegol

Canys tybier fod : ac na ddichon y ffracsiwn hwn gael ei leihau. Yn benodol, mae p a q yn od. Gadewch i ni sgwâr: 2q²=p². Ni all y rhif p fod yn odrif, ers hynny p² byddai hefyd, ac ochr chwith y cydraddoldeb yn lluosrif o 2. Felly, mae p yn eilrif, h.y., p = 2r, felly p²= 4r². Rydym yn lleihau'r hafaliad 2q²= 4r² erbyn 2. Cawn q²= 2r² a gwelwn fod yn rhaid i q fod yn wastad hefyd, yr hyn a dybiwn nad yw felly. Mae'r gwrth-ddweud canlyniadol yn cwblhau'r prawf - mae'r fformiwla hon i'w chael yn aml ym mhob llyfr mathemategol. Mae'r prawf amgylchiadol hwn yn hoff dric gan y sophists.

Ni allai'r Pythagoreans ddeall yr anferthedd hwn. Rhaid gallu disgrifio popeth yn ôl rhifau, ac nid oes gan groeslin sgwâr, y gall unrhyw un ei dynnu â ffon ar draws y tywod, hyd, hynny yw, mesuradwy. “Roedd ein ffydd yn ofer,” mae'n ymddangos bod y Pythagoreans yn dweud. Sut felly? Mae'n fath o... afresymegol. Ceisiodd yr Undeb achub ei hun trwy ddulliau sectyddol. Unrhyw un sy'n meiddio datgelu eu bodolaeth niferoedd afresymegol, i gael ei gosbi trwy farwolaeth, ac, y mae yn debyg, mai y meistr ei hun a gariwyd allan y ddedfryd gyntaf.

Ond " aeth y meddwl heibio yn ddiangol." Mae'r oes aur wedi cyrraedd. Gorchfygodd y Groegiaid y Persiaid (Marathon 490, Bloc 479). Cryfhawyd democratiaeth, cododd canolfannau meddwl athronyddol newydd ac ysgolion newydd. Roedd y Pythagoreans yn dal i gael trafferth gyda niferoedd afresymol. Pregethodd rhai : ni a gawn amgyffred y dirgelwch hwn ; ni allwn ond myfyrio a rhyfeddu at Uncharted. Roedd yr olaf yn fwy pragmatig ac nid oeddent yn parchu'r Dirgelwch. Bryd hynny, ymddangosodd dau gystrawen feddyliol a oedd yn ei gwneud hi'n bosibl deall rhifau afresymegol. Mae'r ffaith ein bod yn eu deall yn ddigon da heddiw yn perthyn i Eudoxus (XNUMXed ganrif CC), a dim ond ar ddiwedd y XNUMXeg ganrif y rhoddodd y mathemategydd Almaeneg Richard Dedekind ddatblygiad priodol i ddamcaniaeth Eudoxus yn unol â gofynion trylwyr. rhesymeg fathemategol.

Màs ffigurau neu artaith

Allech chi fyw heb rifau? Hyd yn oed os beth fyddai bywyd... Byddai'n rhaid i ni fynd i'r siop i brynu esgidiau gyda ffon, yr oeddem yn flaenorol yn mesur hyd y droed. “Hoffwn i afalau, AH, dyma fe!” - byddem yn dangos gwerthwyr yn y farchnad. "Pa mor bell yw hi o Modlin i Nowy Dwur Mazowiecki"? “Eithaf agos!”

Defnyddir rhifau i fesur. Gyda'u cymorth, rydym hefyd yn mynegi llawer o gysyniadau eraill. Er enghraifft, mae graddfa’r map yn dangos faint mae arwynebedd y wlad wedi lleihau. Mae graddfa dwy-i-un, neu 2 yn syml, yn mynegi'r ffaith bod rhywbeth wedi'i ddyblu o ran maint. Gadewch i ni ddweud yn fathemategol: mae pob homogenedd yn cyfateb i rif - ei raddfa.

Tasg. Fe wnaethon ni gopi serograffig, gan chwyddo'r ddelwedd sawl gwaith. Yna y dernyn chwyddedig a helaethwyd eto b amseroedd. Beth yw'r raddfa chwyddo gyffredinol? Ateb: a × b wedi'i luosi â b. Mae angen lluosi'r graddfeydd hyn. Mae'r rhif "llai un", -1, yn cyfateb i un trachywiredd sydd wedi'i ganoli, h.y. cylchdroi 180 gradd. Pa rif sy'n cyfateb i dro 90 gradd? Nid oes y fath nifer. Y mae, y mae… neu yn hytrach, bydd yn fuan. Ydych chi'n barod am artaith foesol? Byddwch yn ddewr a chymerwch wraidd sgwâr minws un. Rwy'n gwrando ar? Beth allwch chi ddim? Wedi'r cyfan, dywedais wrthych am fod yn ddewr. Tynnwch ef allan! Hei, wel, tynnwch, tynnwch... byddaf yn helpu... Yma: -1 Nawr bod gennym ni, gadewch i ni geisio ei ddefnyddio... Wrth gwrs, nawr gallwn dynnu gwreiddiau pob rhif negyddol, ar gyfer enghraifft.:

√-4 = 2√-1, √16- = 4√-1

“Waeth beth fo’r ing meddwl y mae’n ei olygu.” Dyma'r hyn a ysgrifennodd Girolamo Cardano yn 1539, yn ceisio goresgyn yr anawsterau meddwl sy'n gysylltiedig â - fel y daeth i gael ei alw - meintiau dychmygol. Ystyriodd y rhain...

...Tasg. Rhannwch 10 yn ddwy ran, a'i gynnyrch yw 40. Cofiaf iddo ysgrifennu rhywbeth fel hyn o'r bennod flaenorol: Yn sicr amhosibl. Fodd bynnag, gadewch i ni wneud hyn: rhannwch 10 yn ddwy ran gyfartal, pob un yn hafal i 5. Lluoswch nhw - mae'n troi allan 25. O'r 25 canlyniadol, nawr tynnwch 40, os dymunwch, a byddwch yn cael -15. Nawr edrychwch: Mae √-15 wedi'i adio a'i dynnu o 5 yn rhoi'r lluoswm o 40 i chi. Dyma'r rhifau 5-√-15 a 5 + √-15. Gwiriwyd y canlyniad gan Cardano fel a ganlyn:

“Waeth beth fo'r torcalon y mae'n ei olygu, lluoswch 5 + √-15 â 5-√-15. Rydyn ni'n cael 25 - (-15), sy'n hafal i 25 + 15. Felly, mae'r cynnyrch yn 40 .... Mae'n anodd iawn."

Wel, faint yw: (1 + √-1) (1-√-1)? Gadewch i ni luosi. Cofiwch fod √-1 × √-1 = -1. Gwych. Nawr tasg anoddach: o a + b√-1 i ab√-1. Beth ddigwyddodd? Yn sicr, fel hyn: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Beth sy'n ddiddorol am hyn? Er enghraifft, y ffaith y gallwn ffactoreiddio ymadroddion nad oeddem ni "yn eu gwybod o'r blaen." Y fformiwla lluosi cryno ar gyfer²-b² Ydych chi'n cofio'r fformiwla ar gyfer²+b² nid oedd, oherwydd ni allai fod. Ym mharth rhifau real, y polynomial²+b² mae'n anochel. Gadewch i ni ddynodi "ein" gwreiddyn sgwâr o "minws un" gyda'r llythyren i.²= -1. Mae'n rhif cysefin "afreal". A dyna sy'n disgrifio troad 90 gradd o awyren. Pam? Wedi'r cyfan,²= -1, ac mae cyfuno un cylchdro 90-gradd a chylchdro 180-gradd arall yn rhoi cylchdro 45-gradd. Pa fath o gylchdro sy'n cael ei ddisgrifio? Yn amlwg tro XNUMX gradd. Beth mae'r -i yn ei olygu? Mae ychydig yn fwy cymhleth:

(-I)² = -i × (-i) = +i² = -1

Felly -i hefyd yn disgrifio cylchdro 90 gradd, yn union i'r cyfeiriad arall i's cylchdro. Pa un sydd ar ôl a pha un sy'n iawn? Rhaid i chi wneud apwyntiad. Tybiwn fod y rhif ff yn pennu cylchdro i'r cyfeiriad y mae mathemategwyr yn ei ystyried yn bositif: gwrthglocwedd. Mae'r rhif -i yn disgrifio cylchdroi i'r cyfeiriad y mae'r pwyntwyr yn symud.

Ond a yw rhifau fel fi a -i yn bodoli? Ydy! Rydyn ni newydd ddod â nhw'n fyw. Rwy'n gwrando ar? Eu bod yn bodoli yn ein pen yn unig? Wel beth i'w ddisgwyl? Mae pob rhif arall hefyd yn bodoli yn ein meddwl ni yn unig. Mae angen inni weld a yw ein niferoedd babanod newydd-anedig yn goroesi. Yn fwy manwl gywir, a yw'r dyluniad yn rhesymegol ac a fyddant yn ddefnyddiol ar gyfer rhywbeth. Cymerwch fy ngair i fod popeth mewn trefn a bod y niferoedd newydd hyn yn ddefnyddiol iawn. Rhifau fel 3+i, 5-7i, yn fwy cyffredinol: gelwir a+bi yn rhifau cymhlyg. Dangosais i chi sut y gallwch chi eu cael trwy droelli'r awyren. Gellir eu mewnbynnu mewn gwahanol ffyrdd: fel pwyntiau mewn plân, fel rhai polynomialau, fel rhyw fath o araeau rhifiadol ... a phob tro maent yr un peth: yr hafaliad x² +1=0 does dim elfen... hocus pocus yn barod!!!! Gadewch i ni lawenhau a llawenhau !!!

Diwedd y daith

Mae hyn yn cloi ein taith gyntaf o amgylch y wlad o niferoedd ffug. O'r rhifau anwastad eraill, soniaf hefyd am y rhai sydd â nifer anfeidraidd o ddigidau o flaen, ac nid y tu ôl (fe'u gelwir yn 10-adic, i ni mae p-adic yn bwysicach, lle mae p yn rhif cysefin), ar gyfer enghraifft X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Gadewch i ni gyfri X os gwelwch yn dda². Achos? Beth os ydyn ni'n cyfrifo sgwâr rhif ac yna nifer anfeidraidd o ddigidau? Wel, gadewch i ni wneud yr un peth. Gwyddom fod x² = X.

Dewch i ni ddod o hyd i rif arall o'r fath gyda nifer anfeidrol o ddigidau o'i flaen sy'n bodloni'r hafaliad. Awgrym: mae sgwâr rhif sy'n gorffen mewn chwech hefyd yn gorffen mewn chwech. Mae sgwâr rhif sy'n gorffen yn 76 hefyd yn gorffen gyda 76. Mae sgwâr rhif sy'n gorffen yn 376 hefyd yn gorffen gyda 376. Mae sgwâr rhif sy'n gorffen yn 9376 hefyd yn gorffen yn 9376. Sgwâr rhif sy'n gorffen yn XNUMX ymlaen… Mae yna hefyd niferoedd sydd mor fach fel eu bod, o fod yn bositif, yn parhau i fod yn llai nag unrhyw rif positif arall. Maen nhw mor fach fel ei fod weithiau'n ddigon i'w sgwario i gael sero. Mae niferoedd nad ydynt yn bodloni'r amod a × b = b × a. Mae yna hefyd niferoedd anfeidrol. Sawl rhif naturiol sydd yna? Anfeidrol lawer? Ie, ond faint? Sut y gellir mynegi hyn fel rhif? Ateb: y lleiaf o rifau anfeidrol; mae wedi'i nodi â llythyren hardd: A ac wedi'i hategu gan fynegai sero A₀ , aleph-sero.

Mae yna hefyd niferoedd nad ydyn ni'n gwybod eu bod yn bodoli... neu y gallwch chi eu credu neu eu hanghredu fel y mynnwch. A siarad am y tebyg: Rwy'n gobeithio eich bod yn dal i hoffi Rhifau Afreal, Rhifau Rhywogaethau Ffantasi.