Ciphers ac ysbiwyr

Yn y Math Corner heddiw, rydw i'n mynd i edrych ar bwnc a drafodais yng Ngwersyll Gwyddoniaeth blynyddol y Sefydliad Plant Cenedlaethol i blant. Mae'r sefydliad yn chwilio am blant a phobl ifanc sydd â diddordebau gwyddonol. Nid oes rhaid i chi fod yn hynod ddawnus, ond mae angen i chi gael "llinyn wyddonol." Nid oes angen graddau ysgol da iawn. Rhowch gynnig arni, efallai y byddwch yn ei hoffi. Os ydych chi'n fyfyriwr ysgol elfennol hŷn neu'n fyfyriwr ysgol uwchradd, gwnewch gais. Fel arfer y rhieni neu'r ysgol sy'n gwneud yr adroddiadau, ond nid yw hyn yn wir bob amser. Chwiliwch am wefan y Sefydliad a darganfyddwch.

Mae mwy a mwy o sôn yn yr ysgol am "godio", gan gyfeirio at y gweithgaredd a elwid gynt yn "rhaglennu". Mae hon yn weithdrefn gyffredin ar gyfer addysgwyr damcaniaethol. Maent yn cloddio hen ddulliau, yn rhoi enw newydd iddynt, a gwneir "cynnydd" ar ei ben ei hun. Mae yna sawl maes lle mae ffenomen gylchol o'r fath yn digwydd.

Gellir casglu fy mod yn dibrisio didacteg. Nac ydw. Yn natblygiad gwareiddiad, rydyn ni weithiau'n dychwelyd i'r hyn a oedd, yn cael ei adael ac mae bellach yn cael ei adfywio. Ond mathemategol yw ein cornel ni, nid athronyddol.

Mae perthyn i gymuned arbennig hefyd yn golygu "symbolau cyffredin", darlleniadau cyffredin, dywediadau a damhegion. Bydd yr un a ddysgodd y Bwyleg yn berffaith “mae dryslwyn mawr yn Szczebrzeszyn, chwilen yn suo yn y cyrs” yn cael ei ddinoethi ar unwaith fel ysbïwr o dalaith estron os na fydd yn ateb y cwestiwn beth mae cnocell y coed yn ei wneud. Wrth gwrs ei fod yn mygu!

Nid jôc yn unig yw hyn. Ym mis Rhagfyr 1944, lansiodd yr Almaenwyr eu hymosodiad olaf yn yr Ardennes ar gost fawr. Fe wnaethon nhw ysgogi milwyr oedd yn siarad Saesneg yn rhugl i darfu ar symudiad milwyr y cynghreiriaid, er enghraifft trwy eu harwain i'r cyfeiriad anghywir ar groesffordd. Ar ôl eiliad o syndod, dechreuodd yr Americanwyr ofyn cwestiynau amheus i'r milwyr, a byddai'r atebion yn amlwg i berson o Texas, Nebraska neu Georgia ac yn annirnadwy i rywun nad oedd wedi tyfu i fyny yno. Arweiniodd anwybodaeth o'r gwirioneddau yn uniongyrchol at y dienyddiad.

I'r pwynt. Rwy'n argymell i ddarllenwyr y llyfr gan Lukasz Badowski a Zaslaw Adamashek "Laboratory in a Desk Drawer - Mathematics". Dyma lyfr hyfryd sy'n dangos yn wych bod mathemateg yn wirioneddol ddefnyddiol ar gyfer rhywbeth ac nad yw "arbrawf mathemateg" yn eiriau gwag. Mae'n cynnwys, ymhlith pethau eraill, y gwaith a ddisgrifir o adeiladu'r "enigma cardbord" - dyfais a fydd yn cymryd dim ond pymtheg munud i ni ei chreu ac sy'n gweithio fel peiriant seiffr difrifol. Roedd y syniad ei hun mor adnabyddus, fe weithiodd yr awduron a grybwyllwyd ef allan yn hyfryd, a byddaf yn ei newid ychydig a'i lapio mewn dillad mwy mathemategol.

haclifiau

Ar un o strydoedd fy mhentref dacha ym maestrefi Warsaw, cafodd y palmant ei ddatgymalu’n ddiweddar o “trlinka” – slabiau palmant hecsagonol. Roedd y reid yn anghyfforddus, ond roedd enaid y mathemategydd yn llawenhau. Nid yw'n hawdd gorchuddio'r awyren â pholygonau rheolaidd (h.y. rheolaidd). Dim ond trionglau, sgwariau a hecsagonau rheolaidd y gall fod.

Efallai imi cellwair ychydig gyda'r llawenydd ysbrydol hwn, ond mae'r hecsagon yn ffigwr hardd. Oddi arno gallwch chi wneud dyfais amgryptio eithaf llwyddiannus. Bydd geometreg yn helpu. Mae gan yr hecsagon gymesuredd cylchdro - mae'n gorgyffwrdd ei hun pan gaiff ei gylchdroi gan luosrif o 60 gradd. Mae'r maes wedi'i farcio, er enghraifft, gyda'r llythyren A yn y chwith uchaf ffig. 1 ar ôl troi drwy'r ongl hon, bydd hefyd yn disgyn i mewn i flwch A - a'r un peth â llythrennau eraill. Felly gadewch i ni dorri allan chwe sgwâr o'r grid, pob un â llythyren wahanol. Rydyn ni'n rhoi'r grid a gafwyd fel hyn ar ddalen o bapur. Yn y chwe maes rhad ac am ddim, nodwch chwe llythyren o'r testun yr ydym am ei amgryptio. Gadewch i ni gylchdroi'r daflen 60 gradd. Bydd chwe maes newydd yn ymddangos - rhowch chwe llythyren nesaf ein neges.

Reis. 1. Trlinks o lawenydd mathemateg.

Ar y dde ffig. 1 mae gennym destun wedi'i amgodio fel hyn: "Mae locomotif stêm enfawr trwm yn yr orsaf."

Nawr bydd ychydig o fathemateg ysgol yn ddefnyddiol. Mewn sawl ffordd y gellir trefnu dau rif mewn perthynas â'i gilydd?

Am gwestiwn gwirion? Ar gyfer dau: naill ai un o flaen neu'r llall.

Ardderchog. A thri rhif?

Nid yw ychwaith yn anodd rhestru'r holl osodiadau:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Wel, mae hi am bedwar! Gellir ei sillafu'n glir o hyd. Dyfalwch y rheol gorchymyn a roddais:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Pan fydd y digidau yn bump, rydyn ni'n cael 120 o leoliadau posib. Gadewch i ni eu galw trynewidiadau. Nifer y trynewidiadau posibl o n rhifau yw'r cynnyrch 1 2 3 ... n, a elwir cryf ac wedi'i nodi ag ebychnod: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Ar gyfer y rhif 6 nesaf mae gennym ni 6!=720. Byddwn yn defnyddio hwn i wneud ein tarian seiffr hecsagonol yn fwy cymhleth.

Rydyn ni'n dewis newidiad o rifau o 0 i 5, er enghraifft 351042. Mae gan ein disg sgramblo hecsagonol doriad yn y cae canol - fel y gellir ei roi "yn y sefyllfa sero" - llinell doriad i fyny, fel yn ffig. 1. Rydyn ni'n rhoi'r ddisg fel hyn ar ddalen o bapur y mae'n rhaid i ni ysgrifennu ein hadroddiad arno, ond nid ydym yn ei ysgrifennu ar unwaith, ond trowch hi deirgwaith wrth 60 gradd (h.y. 180 gradd) a rhowch chwe llythyren yn y caeau gweigion. Rydyn ni'n dychwelyd i'r man cychwyn. Rydyn ni'n troi'r deial bum gwaith gan 60 gradd, hynny yw, gan bum "dannedd" ein deial. Rydym yn argraffu. Y safle graddfa nesaf yw'r safle wedi'i gylchdroi 60 gradd o gwmpas sero. Y pedwerydd safle yw 0 gradd, dyma'r man cychwyn.

Ydych chi'n deall beth ddigwyddodd? Mae gennym gyfle ychwanegol - i gymhlethu ein "peiriant" gan fwy na saith gant o weithiau! Felly, mae gennym ddau safle annibynnol o'r "awtomaton" - dewis y grid a dewis y permutation. Gellir dewis y grid mewn ffyrdd 66 = 46656, permutation 720. Mae hyn yn rhoi posibiliadau 33592320. Dros 33 miliwn o seiffrau! Bron ychydig yn llai, oherwydd ni ellir torri rhai gridiau allan o bapur.

Yn y rhan isaf ffig. 1 mae gennym neges wedi'i chodio fel hyn: "Rwy'n anfon pedair adran parasiwt atoch." Hawdd deall na ddylid gadael i'r gelyn wybod am hyn. Ond a fydd yn deall dim o hyn:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYLOAKVMDEYCHESH,

hyd yn oed gyda llofnod 351042?

Rydym yn adeiladu Enigma, peiriant seiffr Almaeneg

Reis. 2. Enghraifft o setup cychwynnol ein peiriant amgryptio.

Permutations (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Fel y soniais eisoes, mae arnaf ddyled y syniad o greu peiriant cardbord o'r fath i'r llyfr "Lab in a Drawer - Mathematics". Mae fy “adeiladu” ychydig yn wahanol i’r un a roddwyd gan ei hawduron.

Roedd gan y peiriant seiffr a ddefnyddiwyd gan yr Almaenwyr yn ystod y rhyfel egwyddor ddyfeisgar o syml, braidd yn debyg i'r un a welsom gyda'r cipher hecs. Bob tro yr un peth: torri aseiniad caled o lythyr i lythyr arall. Rhaid iddo fod yn un arall. Sut i'w wneud er mwyn cael rheolaeth drosto?

Gadewch i ni ddewis nid unrhyw newid, ond un sydd â chylchoedd o hyd 2. Yn syml, rhywbeth fel y "Gaderipoluk" a ddisgrifir yma ychydig fisoedd yn ôl, ond sy'n cwmpasu holl lythrennau'r wyddor. Gadewch i ni gytuno ar 24 o lythyrau - heb ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Sawl cyfnewidiad o'r fath? Mae hon yn dasg i raddedigion ysgol uwchradd (dylent allu ei datrys ar unwaith). Faint? Llawer o? Sawl miloedd? Ydy:

1912098225024001185793365052108800000000 (peidiwn â cheisio darllen y rhif hwn hyd yn oed). Mae cymaint o bosibiliadau i osod y sefyllfa "sero". A gall fod yn anodd.

Mae ein peiriant yn cynnwys dwy ddisg gron. Ar un ohonyn nhw, sy'n dal i sefyll, mae llythyrau'n cael eu hysgrifennu. Mae ychydig yn debyg i ddeial hen ffôn, lle gwnaethoch ddeialu rhif trwy droi'r deial yr holl ffordd. Rotari yw'r ail gyda chynllun lliw. Y ffordd hawsaf yw eu rhoi ar gorc arferol gan ddefnyddio pin. Yn lle corc, gallwch ddefnyddio bwrdd tenau neu gardbord trwchus. Mae Lukasz Badowski a Zasław Adamaszek yn argymell gosod y ddwy ddisg mewn blwch CD.

Dychmygwch ein bod am amgodio'r gair ARMATY (Reis. 2 a 3). Gosodwch y ddyfais i safle sero (saeth i fyny). Mae'r llythyren A yn cyfateb i F. Cylchdroi'r gylched fewnol un llythyren i'r dde. Mae gennym y llythyren R i'w amgodio, nawr mae'n cyfateb i A. Ar ôl y cylchdro nesaf, gwelwn fod y llythyren M yn cyfateb i U. Mae'r cylchdro nesaf (pedwerydd diagram) yn rhoi'r cyfatebiaeth A - P. Ar y pumed deial mae gennym T. - A. Yn olaf (chweched cylch ) Y – Y Mae'n debyg na fydd y gelyn yn dyfalu y bydd ein CFCFA yn beryglus iddo. A sut bydd “ein un ni” yn darllen yr anfoniad? Rhaid iddynt gael yr un peiriant, yr un "rhaglennu", hynny yw, gyda'r un permutation. Mae'r seiffr yn dechrau ar safle sero. Felly gwerth F yw A. Trowch y deial yn glocwedd. Mae'r llythyren A bellach yn gysylltiedig ag R. Mae'n troi'r ddeial i'r dde ac o dan y llythyren U mae'n dod o hyd i M, ac ati.

Reis. 3. Egwyddor gweithredu ein papur Enigma.

Reis. 3. Egwyddor gweithredu ein papur Enigma.

Mae posibiliadau Enigma mor gyntefig hyd yn oed yn anhygoel. Gallwn ddewis permutations allbwn eraill. Gallwn - ac mae hyd yn oed mwy o gyfleoedd yma - nid trwy un “serif” yn rheolaidd, ond mewn trefn benodol, sy'n newid yn ddyddiol, yn debyg i hecsagon (er enghraifft, y tair llythyren gyntaf, yna saith, yna wyth, pedwar ... .. ac ati .).

Sut allwch chi ddyfalu?! Ac eto i fathemategwyr Pwyleg (Marian Reevski, Henry Zigalski, Jerzy Ruzicki) Digwyddodd. Roedd y wybodaeth a gafwyd felly yn amhrisiadwy. Cyn hynny, roedd ganddynt gyfraniad yr un mor bwysig i hanes ein hamddiffyniad. Vaclav Sierpinski i Stanislav Mazurkevicha droseddodd god milwyr Rwsiaidd ym 1920. Rhoddodd y cebl rhyng-gipio gyfle i Piłsudski wneud y symudiad enwog o Afon Vepsz.

Rwy'n cofio Vaslav Sierpinski (1882-1969). Roedd yn ymddangos fel mathemategydd nad oedd y byd y tu allan yn bodoli iddo. Ni allai siarad am ei gyfranogiad yn y fuddugoliaeth yn 1920 am resymau milwrol a ... am resymau gwleidyddol (nid oedd awdurdodau Gweriniaeth Pobl Gwlad Pwyl yn hoffi'r rhai a oedd yn ein hamddiffyn rhag yr Undeb Sofietaidd).

Reis. 4. Permutation (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Reis. 5. Addurniad hardd, ond nid yw'n addas ar gyfer amgryptio. Yn rhy rheolaidd.

Swydd 1. Na ffig. 4 mae gennych dronewidiad arall i greu Enigma. Copïwch y llun i'r serograff. Adeiladwch gar, codwch eich enw cyntaf ac olaf. Fy CWONUE JTRYGT. Os oes angen i chi gadw'ch nodiadau'n breifat, defnyddiwch Cardboard Enigma.

Swydd 2. Amgryptio eich enw a chyfenw un o'r “ceir” welsoch chi, ond (sylw!) gyda chymhlethdod ychwanegol: nid ydym yn troi un rhicyn i'r dde, ond yn ôl y cynllun {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - hynny yw, yn gyntaf gan un, yna gan ddau, yna gan dri, yna gan 2, yna eto gan 1, yna gan 2, ac ati, o'r fath yn "tonfedd" . Gwnewch yn siŵr bod fy enw cyntaf ac olaf wedi'i amgryptio fel CZTTAK SDBITH. Nawr ydych chi'n deall pa mor bwerus oedd y peiriant Enigma?

Datrys problemau ar gyfer graddedigion ysgol uwchradd. Faint o opsiynau ffurfweddu ar gyfer Enigma (yn y fersiwn hwn, fel y disgrifir yn yr erthygl)? Mae gennym 24 o lythyrau. Rydyn ni'n dewis y pâr cyntaf o lythyrau - gellir gwneud hyn ymlaen

ffyrdd. Gellir dewis y pâr nesaf ar

ffyrdd, mwy

etc. Ar ôl y cyfrifiadau cyfatebol (rhaid lluosi pob rhif), cawn

151476660579404160000

Yna rhannwch y rhif hwnnw â 12! (12 ffactor), oherwydd gellir cael yr un parau mewn trefn wahanol. Felly yn y diwedd rydyn ni'n cael "cyfanswm"

316234143225,

mae hynny ychydig dros 300 biliwn, nad yw'n ymddangos fel nifer syfrdanol o fawr ar gyfer uwchgyfrifiaduron heddiw. Fodd bynnag, os cymerir trefn hap y trynewidiadau eu hunain i ystyriaeth, mae'r nifer hwn yn cynyddu'n sylweddol. Gallwn hefyd feddwl am fathau eraill o gyfnewidiadau.

Gweler hefyd: