FELLY I BWY, hynny yw: CEISIO LLE Y GALLWCH - rhan 2

Yn y bennod flaenorol, buom yn delio â Sudoku, gêm rifyddol lle mae niferoedd yn cael eu trefnu yn y bôn mewn amrywiol ddiagramau yn unol â rheolau penodol. Yr amrywiad mwyaf cyffredin yw bwrdd gwyddbwyll 9 × 9, sydd hefyd wedi'i rannu'n naw cell 3 × 3. Rhaid gosod y rhifau o 1 i 9 arno fel nad ydynt yn ailadrodd naill ai mewn rhes fertigol (mae mathemategwyr yn dweud: mewn colofn) neu mewn rhes lorweddol (mae mathemategwyr yn dweud: mewn rhes) - ac, ar ben hynny, fel bod nid ydynt yn ailadrodd. ailadrodd o fewn unrhyw sgwâr llai.

Na ffig. 1 rydym yn gweld y pos hwn mewn fersiwn symlach, sef sgwâr 6 × 6 wedi'i rannu'n betryalau 2 × 3. Rydyn ni'n mewnosod y rhifau 1, 2, 3, 4, 5, 6 ynddo - fel nad ydyn nhw'n ailadrodd yn fertigol, na chwaith yn llorweddol, nac ym mhob un o'r hecsagonau a ddewiswyd.

Gadewch i ni geisio dangos yn y sgwâr uchaf. Allwch chi ei lenwi â rhifau o 1 i 6 yn ôl y rheolau a osodwyd ar gyfer y gêm hon? Mae'n bosibl - ond yn amwys. Gawn ni weld - tynnwch sgwâr ar y chwith neu sgwâr ar y dde.

Gallwn ddweud nad dyma'r sail i'r pos. Rydym fel arfer yn cymryd yn ganiataol bod gan bos un ateb. Mae'r dasg o ddod o hyd i wahanol seiliau ar gyfer y Sudoku "mawr", 9x9, yn dasg anodd ac nid oes unrhyw siawns o'i datrys yn llwyr.

Cysylltiad pwysig arall yw'r system groes. Ni ellir cwblhau'r sgwâr canol gwaelod (yr un â'r rhif 2 yn y gornel dde isaf). Pam?

Hwyl ac Encil

Rydyn ni'n chwarae ymlaen. Gadewch i ni ddefnyddio greddf plant. Maen nhw'n credu bod adloniant yn gyflwyniad i ddysgu. Gadewch i ni fynd i'r gofod. cynnwys ffig. 2 mae pawb yn gweld y grid tetrahedrono beli, er enghraifft, peli ping-pong? Dwyn i gof gwersi geometreg ysgol. Mae'r lliwiau ar ochr chwith y llun yn egluro beth mae wedi'i gludo iddo wrth gydosod y bloc. Yn benodol, bydd tair pêl cornel (coch) yn cael eu gludo i mewn i un. Felly, rhaid iddynt fod yr un nifer. Efallai 9. Pam? A pham lai?

O na wnes i ei ymadrodd tasgau. Mae'n swnio rhywbeth fel hyn: a yw'n bosibl arysgrifio'r rhifau o 0 i 9 yn y grid gweladwy fel bod pob wyneb yn cynnwys yr holl rifau? Nid yw'r dasg yn anodd, ond faint sydd angen i chi ei ddychmygu! Ni fyddaf yn difetha pleser darllenwyr ac ni fyddaf yn rhoi ateb.

Mae hwn yn siâp hardd iawn a heb ei werthfawrogi. octahedron rheolaidd, wedi'i adeiladu o ddau byramid (= pyramidau) gyda gwaelod sgwâr. Fel y mae'r enw'n awgrymu, mae gan yr octahedron wyth wyneb.

Mae chwe fertig mewn octahedron. Mae'n gwrth-ddweud ciwbsydd â chwe wyneb ac wyth fertig. Mae ymylon y ddau lwmp yr un peth - deuddeg yr un. hwn solidau dwbl - mae hyn yn golygu ein bod ni'n cael octahedron trwy gysylltu canol wynebau'r ciwb, a bydd canol wynebau'r octahedron yn rhoi ciwb i ni. Mae'r ddau bumps hyn yn perfformio ("oherwydd bod yn rhaid iddynt") Fformiwla Euler: Mae swm nifer y fertigau a nifer yr wynebau 2 yn fwy na nifer yr ymylon.

3. Octahedron rheolaidd mewn tafluniad cyfochrog ac octahedron dellt wedi'i gyfansoddi o sfferau yn y fath fodd fel bod gan bob ymyl bedwar sffêr.

Swydd 1. Yn gyntaf, ysgrifennwch frawddeg olaf y paragraff blaenorol gan ddefnyddio fformiwla fathemategol. Ar y ffig. 3 rydych chi'n gweld grid octahedrol, hefyd yn cynnwys sfferau. Mae gan bob ymyl bedair pêl. Mae pob wyneb yn driongl o ddeg sffêr. Mae'r broblem yn cael ei gosod yn annibynnol: a yw'n bosibl rhoi rhifau o 0 i 9 yng nghylchoedd y grid fel bod pob wal ar ôl gludo corff solet yn cynnwys yr holl rifau (mae'n dilyn hynny heb ailadrodd). Fel o'r blaen, yr anhawster mwyaf yn y dasg hon yw sut mae'r rhwyll yn cael ei drawsnewid yn gorff solet. Ni allaf ei esbonio'n ysgrifenedig, felly nid wyf yn rhoi'r ateb yma ychwaith.

4. Dau icosahedron o beli ping-pong. Sylwch ar y cynllun lliwiau gwahanol.

eisoes Plato (ac roedd yn byw yn y XNUMXed-XNUMXedd ganrif CC) yn gwybod yr holl bolyhedronau rheolaidd: tetrahedron, ciwb, octahedron, dodecahedron i icosahedron. Mae'n anhygoel sut y cyrhaeddodd yno - dim pensil, dim papur, dim beiro, dim llyfrau, dim ffôn clyfar, dim rhyngrwyd! Wna i ddim siarad am y dodecahedron yma. Ond mae'r icosahedral sudoku yn ddiddorol. Rydyn ni'n gweld y lwmp hwn ymlaen darlun 4a'i rwydwaith ffig.5.

5. rhwyll rheolaidd o'r icosahedron.

Fel o'r blaen, nid grid yw hwn yn yr ystyr yr ydym yn cofio (?!) o'r ysgol, ond ffordd o gludo trionglau o beli (peli).

Swydd 2. Faint o beli sydd ei angen i adeiladu icosahedron o'r fath? A yw'r rhesymu canlynol yn parhau'n gywir: gan fod pob wyneb yn driongl, os oes 20 wyneb i fod, yna mae angen cymaint â 60 sffêr?

6. Grid o icosahedron o sfferau. Mae pob cylch, er enghraifft, yn bêl ping-pong, ond mae adeiladwaith cylchoedd ar gylchoedd sydd wedi'u marcio â'r un lliw yn uno'n un. Felly mae gennym ddeuddeg sffêr (= deuddeg fertig: coch, glas, porffor, glas ac wyth melyn).

Mae'n hawdd gweld nad yw tri rhif yn yr icosahedron yn ddigon. Yn fwy manwl gywir: mae'n amhosibl rhifo fertigau â rhifau 1, 2, 3 fel bod gan bob wyneb (trionglog) y tri rhif hyn ac nad oes unrhyw ailadrodd. A yw'n bosibl gyda phedwar rhif? Ydy mae'n bosibl! Gadewch i ni edrych ar Reis. 6 a 7.

7. Dyma sut i rifo'r sfferau sy'n rhan o'r icosahedron fel bod pob wyneb yn cynnwys rhifau heblaw 1, 2, 3, 4. Pa un o'r cyrff yn ffig. 4 yw lliw fel hyn?

Swydd 3. Gellir dewis tri o'r pedwar rhif mewn pedwar ffordd: 123, 124, 134, 234. Darganfyddwch bum triongl o'r fath yn yr icosahedron yn ffig. 7 (yn ogystal ag oddi wrth darluniau un).

Tasg 4 (angen dychymyg gofodol da iawn). Mae gan yr icosahedron ddeuddeg fertig, sy'n golygu y gellir ei gludo at ei gilydd o ddeuddeg pêl (ffig. 7). Sylwch fod tri fertig (= peli) wedi'u labelu ag 1, tri â 2, ac ati. Felly, mae peli o'r un lliw yn ffurfio triongl. Beth yw'r triongl hwn? Efallai hafalochrog? Edrych eto darluniau un.

Y dasg nesaf i’r taid/nain ac ŵyr/wyres. Gall rhieni roi cynnig ar eu llaw o'r diwedd hefyd, ond mae angen amynedd ac amser arnynt.

Swydd 5. Prynwch ddeuddeg (24 o ddewis) peli ping-pong, rhyw bedwar lliw o baent, brwsh a'r glud cywir - dydw i ddim yn argymell rhai cyflym fel Superglue neu Droplet oherwydd maen nhw'n sychu'n rhy gyflym ac yn beryglus i blant. Gludwch ar yr icosahedron. Gwisgwch eich wyres mewn crys-t a fydd yn cael ei olchi (neu ei daflu) yn syth wedyn. Gorchuddiwch y bwrdd gyda ffoil (yn ddelfrydol gyda phapurau newydd). Lliwiwch yr icosahedron yn ofalus gyda phedwar lliw 1, 2, 3, 4, fel y dangosir yn ffig. ffig. 7. Gallwch chi newid y drefn - lliwiwch y balwnau yn gyntaf ac yna gludwch nhw. Ar yr un pryd, rhaid gadael cylchoedd bach heb eu paentio fel nad yw'r paent yn glynu wrth y paent.

Nawr y dasg anoddaf (yn fwy manwl gywir, eu dilyniant cyfan).

Tasg 6 (Yn fwy penodol, y thema gyffredinol). Plotiwch yr icosahedron fel tetrahedron ac octahedron Reis. 2 a 3 Mae hyn yn golygu y dylai fod pedair pêl ar bob ymyl. Yn yr amrywiad hwn, mae'r dasg yn cymryd llawer o amser a hyd yn oed yn gostus. Gadewch i ni ddechrau trwy ddarganfod faint o beli sydd eu hangen arnoch chi. Mae gan bob wyneb ddeg sffêr, felly mae angen dau gant ar yr icosahedron? Nac ydw! Rhaid inni gofio bod llawer o beli yn cael eu rhannu. Sawl ymyl sydd gan icosahedron? Gellir ei gyfrifo'n ofalus, ond beth yw pwrpas fformiwla Euler?

w–k+s=2

lle w, k, s yw nifer y fertigau, yr ymylon, a'r wynebau, yn y drefn honno. Rydyn ni'n cofio bod w = 12, s = 20, sy'n golygu k = 30. Mae gennym ni 30 ymyl yr icosahedron. Gallwch chi ei wneud yn wahanol, oherwydd os oes 20 triongl, yna dim ond 60 ymyl sydd ganddyn nhw, ond mae dau ohonyn nhw'n gyffredin.

Gadewch i ni gyfrifo faint o beli sydd eu hangen arnoch chi. Ym mhob triongl dim ond un bêl fewnol sydd - nid ar ben ein corff, nac ar yr ymyl. Felly, mae gennym gyfanswm o 20 o beli o'r fath. Mae 12 copa. Mae gan bob ymyl ddwy bêl nad ydynt yn fertig (maen nhw y tu mewn i'r ymyl, ond nid y tu mewn i'r wyneb). Gan fod yna 30 ymyl, mae yna 60 marblis, ond mae dau ohonyn nhw'n cael eu rhannu, sy'n golygu mai dim ond 30 marblis sydd eu hangen arnoch chi, felly mae angen cyfanswm o 20 + 12 + 30 = 62 marblis arnoch chi. Gellir prynu peli am o leiaf 50 ceiniog (fel arfer yn ddrytach). Os ydych chi'n ychwanegu cost glud, bydd yn dod allan ... llawer. Mae bondio da yn gofyn am sawl awr o waith manwl. Gyda'i gilydd maent yn addas ar gyfer hamdden ymlaciol - rwy'n eu hargymell yn lle, er enghraifft, gwylio'r teledu.

encil 1 . Yng nghyfres ffilm Andrzej Wajda, Years, Days, mae dau ddyn yn chwarae gwyddbwyll "oherwydd bod yn rhaid iddyn nhw basio'r amser tan ginio rywsut." Mae'n digwydd yn Galisia Krakow. Yn wir: mae papurau newydd eisoes wedi'u darllen (yna roedd ganddyn nhw 4 tudalen), nid yw teledu a ffôn wedi'u dyfeisio eto, nid oes unrhyw gemau pêl-droed. Diflastod yn y pyllau. Mewn sefyllfa o'r fath, roedd pobl yn meddwl am adloniant drostynt eu hunain. Heddiw mae gennym ni nhw ar ôl pwyso'r teclyn rheoli o bell ...

encil 2 . Yng nghyfarfod 2019 y Gymdeithas Athrawon Mathemateg, dangosodd athro o Sbaen raglen gyfrifiadurol a all baentio waliau solet mewn unrhyw liw. Roedd ychydig yn iasol, oherwydd eu bod yn tynnu dim ond y dwylo, bron torri i ffwrdd y corff. Meddyliais i mi fy hun: faint o hwyl allwch chi ei gael o "liwio" o'r fath? Mae popeth yn cymryd dau funud, ac erbyn y pedwerydd nid ydym yn cofio dim. Yn y cyfamser, mae “gwaith nodwydd” hen ffasiwn yn tawelu ac yn addysgu. Pwy nad yw'n credu, gadewch iddo geisio.

Gadewch i ni fynd yn ôl i'r XNUMXfed ganrif ac at ein realiti. Os nad ydym am gael ymlacio ar ffurf gludo peli sy'n cymryd llawer o amser, yna byddwn yn tynnu o leiaf grid o icosahedron, y mae gan ei ymylon bedair pêl. Sut i'w wneud? Torrwch yn iawn ffig.6. Mae'r darllenydd sylwgar eisoes yn dyfalu'r broblem:

Swydd 7. A yw'n bosibl rhifo'r peli â rhifau o 0 i 9 fel bod yr holl rifau hyn yn ymddangos ar bob wyneb icosahedron o'r fath?

Am beth rydyn ni'n cael ein talu?

Heddiw rydym yn aml yn gofyn i ni'n hunain y cwestiwn o ddiben ein gweithgareddau, a bydd y "trethdalwr llwyd" yn gofyn pam y dylai dalu mathemategwyr i ddatrys posau o'r fath?

Mae'r ateb yn eithaf syml. Mae "posau", diddorol ynddynt eu hunain, yn "darn o rywbeth mwy difrifol." Wedi'r cyfan, dim ond rhan allanol, ysblennydd o wasanaeth anodd yw gorymdeithiau milwrol. Rhoddaf un enghraifft yn unig, ond dechreuaf gyda phwnc mathemategol rhyfedd ond a gydnabyddir yn rhyngwladol. Ym 1852, gofynnodd myfyriwr Saesneg i'w athro a oedd yn bosibl lliwio map â phedwar lliw fel bod gwledydd cyfagos bob amser yn cael eu dangos mewn lliwiau gwahanol? Gadewch imi ychwanegu nad ydym yn ystyried "cymdogion" y rhai sy'n cyfarfod ar un adeg yn unig, megis taleithiau Wyoming a Utah yn yr Unol Daleithiau. Doedd yr athro ddim yn gwybod... ac roedd y broblem wedi bod yn aros am ateb ers dros gan mlynedd.

8. Icosahedron o flociau RECO. Mae adlewyrchyddion fflach yn dangos beth sydd gan yr icosahedron yn gyffredin â'r triongl a'r pentagon. Mae pum triongl yn cydgyfeirio ar bob fertig.

Digwyddodd mewn ffordd annisgwyl. Yn 1976, ysgrifennodd grŵp o fathemategwyr Americanaidd raglen i ddatrys y broblem hon (a phenderfynon nhw: ie, bydd pedwar lliw bob amser yn ddigon). Hwn oedd y prawf cyntaf o ffaith fathemategol a gafwyd gyda chymorth "peiriant mathemategol" - fel y gelwid cyfrifiadur hanner canrif yn ôl (a hyd yn oed yn gynharach: "ymennydd electronig").

Dyma “fap o Ewrop” a ddangosir yn arbennig (ffig. 9). Mae'r gwledydd hynny sydd â ffin gyffredin yn gysylltiedig. Mae lliwio'r map yr un peth â lliwio cylchoedd y graff hwn (a elwir yn graff) fel nad oes unrhyw gylchoedd cysylltiedig yr un lliw. Mae golwg ar Liechtenstein, Gwlad Belg, Ffrainc a'r Almaen yn dangos nad yw tri lliw yn ddigon. Os dymunwch, Ddarllenydd, lliwiwch ef â phedwar lliw.

9. Pwy sy'n ffinio â phwy yn Ewrop?

Wel, ydy, ond a yw'n werth arian y trethdalwyr? Felly gadewch i ni edrych ar yr un graff ychydig yn wahanol. Anghofiwch fod yna daleithiau a ffiniau. Gadewch i'r cylchoedd symboleiddio pecynnau gwybodaeth i'w hanfon o un pwynt i'r llall (er enghraifft, o P i EST), ac mae'r segmentau'n cynrychioli cysylltiadau posibl, ac mae gan bob un ohonynt ei lled band ei hun. Anfon cyn gynted â phosibl?

Yn gyntaf, gadewch i ni edrych ar sefyllfa syml iawn, ond hefyd yn ddiddorol iawn o safbwynt mathemategol. Mae'n rhaid i ni anfon rhywbeth o bwynt S (= fel cychwyn) i bwynt M (= gorffen) gan ddefnyddio rhwydwaith o gysylltiadau gyda'r un lled band, dyweder 1. Gwelwn hyn yn ffig. 10.

10. Rhwydwaith o gysylltiadau o Statsyika Zdrój i Megapolis.

Gadewch i ni ddychmygu bod angen anfon tua 89 darn o wybodaeth o S i M. Mae awdur y geiriau hyn yn hoff o broblemau am drenau, felly mae'n dychmygu ei fod yn rheolwr yn Stacie Zdrój, o ble mae'n gorfod anfon 144 o wagenni. i orsaf metropolis. Pam yn union 144? Oherwydd, fel y gwelwn, bydd hwn yn cael ei ddefnyddio i gyfrifo trwygyrch y rhwydwaith cyfan. Y capasiti yw 1 ym mhob lot, h.y. gall un car basio fesul uned o amser (un darn gwybodaeth, o bosibl Gigabyte hefyd).

Gadewch i ni wneud yn siŵr bod pob car yn cyfarfod ar yr un pryd yn M. Mae pawb yn cyrraedd yno mewn 89 uned o amser. Os oes gennyf becyn gwybodaeth bwysig iawn o S i M i'w anfon, rwy'n ei rannu'n grwpiau o 144 o unedau a'i wthio drwodd fel uchod. Mae'r mathemateg yn gwarantu mai hwn fydd y cyflymaf. Sut roeddwn i'n gwybod bod angen 89 arnoch chi? Fe wnes i ddyfalu mewn gwirionedd, ond pe na bawn i'n dyfalu, byddai'n rhaid i mi ei gyfrifo hafaliad Kirchhoff (oes rhywun yn cofio? - hafaliadau yw'r rhain sy'n disgrifio llif y cerrynt). Lled band y rhwydwaith yw 184/89, sydd tua hafal i 1,62.

Am lawenydd

Gyda llaw, dwi'n hoffi'r rhif 144. Roeddwn i'n hoffi reidio'r bws gyda'r rhif hwn i Sgwâr y Castell yn Warsaw - pan nad oedd Castell Brenhinol wedi'i adfer wrth ei ymyl. Efallai bod darllenwyr ifanc yn gwybod beth yw dwsin. Dyna 12 copi, ond dim ond darllenwyr hŷn sy'n cofio bod dwsin o ddwsin, h.y. 122=144, dyma'r hyn a elwir yn lot. A bydd pawb sy'n gwybod mathemateg ychydig yn fwy na chwricwlwm yr ysgol yn deall hynny ar unwaith ffig. 10 mae gennym ni rifau Fibonacci a bod lled band y rhwydwaith yn agos at y "rhif aur"

Yn y dilyniant Fibonacci, 144 yw'r unig rif sy'n sgwâr perffaith. Mae cant pedwar deg pedwar hefyd yn "nifer llawen." Dyna sut mae mathemategydd amatur Indiaidd Dattatreya Ramachandra Kaprekar yn 1955, enwodd rifau sy'n rhanadwy â swm eu digidau cyfansoddol:

Pe gwyddai Adam Miscavige, byddai yn sicr wedi ysgrifenu dim yn Dzyady : “ O fam ddieithr ; ei waed yw ei hen arwyr/ A'i enw yw pedwar a deugain, dim ond mwy cain : A'i enw yw cant pedwar a deugain.

Cymerwch adloniant o ddifrif

Rwy'n gobeithio fy mod wedi argyhoeddi darllenwyr mai posau Sudoku yw'r ochr hwyliog i gwestiynau sy'n sicr yn haeddu cael eu cymryd o ddifrif. Ni allaf ddatblygu'r pwnc hwn ymhellach. O, cyfrifiad lled band rhwydwaith llawn o'r diagram a ddarparwyd ymlaen ffig. 9 byddai ysgrifennu system o hafaliadau yn cymryd dwy awr neu fwy - efallai hyd yn oed ddegau o eiliadau (!) o waith cyfrifiadurol.