Sgwariau lliw ac eclipsau solar

Mae'r erthygl yn disgrifio fy nosbarthiadau ar gyfer myfyrwyr ysgol ganol - deiliaid ysgoloriaethau'r Gronfa Genedlaethol Plant. Mae'r sefydliad yn chwilio am blant a phobl ifanc dawnus arbennig (o radd XNUMX ysgol elfennol i'r ysgol uwchradd) ac yn cynnig "ysgoloriaethau" i fyfyrwyr dethol. Fodd bynnag, nid ydynt yn cynnwys o gwbl mewn tynnu arian parod, ond mewn gofal cynhwysfawr ar gyfer datblygu talent, fel rheol, dros nifer o flynyddoedd. Yn wahanol i lawer o brosiectau eraill o'r math hwn, mae gwyddonwyr adnabyddus, ffigurau diwylliannol, dyneiddwyr amlwg a phobl ddoeth eraill, yn ogystal â rhai gwleidyddion, yn cymryd wardiau'r Sefydliad o ddifrif.

Mae gweithgareddau'r Sefydliad yn ymestyn i bob disgyblaeth sy'n bynciau ysgol sylfaenol, ac eithrio chwaraeon, gan gynnwys celf. Crëwyd y gronfa ym 1983 fel gwrthwenwyn i'r realiti bryd hynny. Gall unrhyw un wneud cais i'r gronfa (fel arfer trwy ysgol, yn ddelfrydol cyn diwedd y flwyddyn ysgol), ond, wrth gwrs, mae rhidyll penodol, gweithdrefn cymhwyster penodol.

Fel y soniais eisoes, mae'r erthygl yn seiliedig ar fy nosbarthiadau meistr, yn benodol yn Gdynia, ym mis Mawrth 2016, yn y 24ain ysgol uwchradd iau yn ysgol uwchradd III. Llynges. Am flynyddoedd lawer, mae'r seminarau hyn wedi'u trefnu dan nawdd y Sefydliad gan Wojciech Thomalczyk, athro carisma rhyfeddol a lefel ddeallusol uchel. Yn 2008, ymunodd â'r deg uchaf yng Ngwlad Pwyl, y dyfarnwyd y teitl Athro Addysgeg iddynt (darparwyd ar ei gyfer yn ôl y gyfraith flynyddoedd lawer yn ôl). Mae gor-ddweud bychan yn y gosodiad: “Addysg yw echel y byd”.

a'r lleuad bob amser yn hynod ddiddorol - yna gallwch chi deimlo ein bod ni'n byw ar blaned fach mewn gofod enfawr, lle mae popeth yn symud, wedi'i fesur mewn centimetrau ac eiliadau. Mae hyd yn oed yn fy nychryn ychydig, hefyd y persbectif amser. Dysgwn mai yn ... 2681 y bydd yr eclipse cyfanswm nesaf, sydd i'w weld o ardal Warsaw heddiw. Tybed pwy fydd yn ei weld? Mae meintiau ymddangosiadol yr Haul a'r Lleuad yn ein hawyr bron yr un fath - dyna pam mae eclipsau mor fyr ac mor ysblennydd. Am ganrifoedd, dylai'r munudau byr hynny fod yn ddigon i seryddwyr weld y corona solar. Mae'n rhyfedd eu bod yn digwydd ddwywaith y flwyddyn ... ond mae hynny'n golygu yn rhywle ar y Ddaear y gellir eu gweld am gyfnod byr o amser. O ganlyniad i symudiadau'r llanw, mae'r Lleuad yn symud i ffwrdd o'r Ddaear - ymhen 260 miliwn o flynyddoedd bydd mor bell i ffwrdd fel y byddwn ni (ni???) ond yn gweld eclipsau annular.

Mae'n debyg y cyntaf i ragweld eclipse, oedd Thales of Miletus (28-585 canrifoedd CC). Mae'n debyg na fyddwn yn gwybod a ddigwyddodd mewn gwirionedd, hynny yw, a oedd wedi rhagweld hynny, oherwydd mae'r ffaith bod yr eclips yn Asia Leiaf wedi digwydd ar Fai 567, 566 CC yn ffaith a gadarnhawyd gan gyfrifiadau modern. Wrth gwrs, dyfynnaf ddata ar gyfer cyfrif heddiw o amser. Pan oeddwn yn blentyn, dychmygais sut roedd pobl yn cyfrif blynyddoedd. Felly dyma, er enghraifft, XNUMX CC, mae Nos Galan yn dod ac mae pobl yn llawenhau: dim ond XNUMX o flynyddoedd CC! Mae'n rhaid eu bod nhw'n hapus iawn pan gyrhaeddodd “ein cyfnod ni” o'r diwedd! Am dro o filoedd o flynyddoedd a brofwyd gennym rai blynyddoedd yn ôl!

Math o Gyfrifo Dyddiadau ac Ystodau eclips, nid yw'n arbennig o gymhleth, ond mae'n llawn dop o bob math o ffactorau sy'n gysylltiedig â rheoleidd-dra ac, hyd yn oed yn waeth, â symudiad anwastad y corff mewn orbitau. Hoffwn hyd yn oed wybod y mathemateg hon. Sut gallai Thales o Miletus wneud y cyfrifiadau angenrheidiol? Mae'r ateb yn syml. Mae'n rhaid i chi gael map awyr. Sut i wneud map o'r fath? Nid yw hyn hefyd yn anodd, roedd yr hen Eifftiaid yn gwybod sut i'w wneud. Am hanner nos, mae dau offeiriad yn dod allan i do'r deml. Mae pob un ohonynt yn eistedd i lawr ac yn tynnu llun yr hyn y mae'n ei weld (fel ei gydweithiwr). Ar ôl dwy fil o flynyddoedd, rydyn ni'n gwybod popeth am symudiad y planedau ...

Geometreg hardd, neu hwyl ar y "rug"

Doedd y Groegiaid ddim yn hoffi rhifau, roedden nhw'n troi at geometreg. Dyma beth fyddwn ni'n ei wneud. Ein eclipse byddant yn syml, yn lliwgar, ond yr un mor ddiddorol a real. Rydym yn derbyn y confensiwn bod y ffigur glas yn symud yn y fath fodd fel ei fod yn eclisio’r un coch. Gadewch i ni alw'r ffigwr glas yn lleuad, a'r ffigwr coch yn haul. Rydym yn gofyn y cwestiynau canlynol i'n hunain:

1. pa mor hir mae eclips yn para;
2. pan fydd hanner y targed wedi'i gwmpasu;

   Reis. 1 "Carped" amryliw gyda'r haul a'r lleuad

3. beth yw'r cwmpas uchaf;
4. a oes modd dadansoddi dibyniaeth cwmpas y darian ar amser? Yn yr erthygl hon (Rwyf wedi fy nghyfyngu gan faint o destun) byddaf yn canolbwyntio ar yr ail gwestiwn. Y tu ôl i hyn mae geometreg braf, efallai heb gyfrifiadau diflas. Gadewch i ni edrych ar ffig. 1. A ellir cymryd yn ganiataol y bydd yn gysylltiedig â ... eclips solar?

Rhaid imi ddweud yn onest y bydd y tasgau y byddaf yn eu trafod yn cael eu dewis yn arbennig, wedi’u haddasu i wybodaeth a sgiliau myfyrwyr ysgol ganol ac uwchradd. Ond rydyn ni'n hyfforddi ar dasgau o'r fath wrth i gerddorion chwarae graddfeydd, ac mae athletwyr yn gwneud ymarferion datblygiadol cyffredinol. Heblaw hyny, onid ryg hardd yn unig ydyw (ffig. 1) ?

Reis. 2 Lleuad "Glas" a "Coch" Haul

Sgwariau lliw fydd ein cyrff nefol, i ddechrau o leiaf. Mae'r lleuad yn las, mae'r haul yn goch (gorau ar gyfer lliwio). gyda'r presennol eclipse Mae'r lleuad yn erlid yr haul ar draws yr awyr, yn dal i fyny ... ac yn ei gau. Bydd yr un peth gyda ni. Yr achos symlaf, pan fydd y Lleuad yn symud o'i gymharu â'r Haul, fel y dangosir yn Ffig. 2. Mae eclips yn dechrau pan fydd ymyl disg y Lleuad yn cyffwrdd ag ymyl disg yr Haul (Ffig. 2) ac yn gorffen pan fydd yn mynd y tu hwnt iddo.

Reis. 3 Mae’r lleuad yn nesau at yr haul yn groeslinol

Tybiwn fod y "Lleuad" yn symud un gell fesul uned o amser, er enghraifft, y funud. Yna mae'r eclips yn para wyth uned o amser, dyweder munudau. Hanner eclipsau solar pylu'n llwyr Mae hanner y deial ar gau ddwywaith: ar ôl 2 a 6 munud. Mae'r graff canrannol o guddio yn syml. Yn ystod y ddau funud cyntaf, mae'r darian yn cau'n gyfartal ar gyfradd o sero i 1, y ddau funud nesaf mae'n agored ar yr un gyfradd.

Dyma enghraifft fwy diddorol (Ffig. 3). Mae'r lleuad yn nesau at yr haul yn groeslinol. Yn ôl ein cytundeb talu fesul munud, mae'r eclipse yn para 8√2 munudau - yng nghanol yr amser hwn mae gennym eclips llwyr. Gadewch i ni gyfrifo pa ran o'r haul sydd wedi'i gorchuddio ar ôl amser t (Ffig. 3). Os yw t munud wedi mynd heibio ers dechrau'r eclips, ac o ganlyniad mae'r Lleuad fel y dangosir yn Ffig. 5, yna (sylw!) Felly, mae wedi'i orchuddio (arwynebedd y sgwâr APQR), yn hafal i hanner y ddisg solar; felly, cafodd ei orchuddio pan, h.y. 4 munud yn ddiweddarach (yna 4 munud cyn diwedd yr eclips).

Reis. 4 Graff o'r swyddogaeth "cysgodi".

Cyfanrwydd yn para un eiliad (t = 4√2), ac mae graff y swyddogaeth "rhan wedi'i lliwio" yn cynnwys dwy arc o barabolas (Ffig. 4).

Bydd ein lleuad glas yn cyffwrdd y gornel gyda'r haul coch, ond bydd yn ei orchuddio, gan fynd nid yn groeslinol, ond ychydig yn groeslinol Mae geometreg ddiddorol yn ymddangos pan fyddwn yn cymhlethu'r symudiad ychydig (Ffig. 6). Mae cyfeiriad y symudiad bellach yn fector [4,3], hynny yw, "pedwar cell i'r dde, tair cell i fyny." Mae lleoliad yr Haul yn golygu bod yr eclips yn dechrau (safle A) pan fydd ochrau'r "cyrff nefol" yn cydgyfarfod i chwarter eu hyd. Pan fydd y Lleuad yn symud i safle B, bydd yn eclipsio un rhan o chwech o'r Haul, ac yn safle C bydd yn eclipsio hanner. Yn sefyllfa D, mae gennym eclips llwyr, ac yna mae popeth yn mynd yn ôl, "fel yr oedd."

Reis. 5 Rhan o'r Haul wedi'i chuddio yn ystod amser t

Daw'r eclips i ben pan fydd y Lleuad yn safle G. Parhaodd cyhyd â hyd adran AG. Os byddwn, fel o'r blaen, yn cymryd fel uned amser yr amser y mae'r Lleuad yn mynd heibio i "un sgwâr", yna mae hyd yr AG yn gyfartal. Pe baem yn mynd yn ôl i'r hen gonfensiwn bod ein cyrff nefol yn 4 wrth 4, byddai'r canlyniad yn wahanol (beth?). Fel y mae'n hawdd ei ddangos, mae'r targed yn cau ar ôl t < 15. Mae'r graff o'r swyddogaeth “canran cwmpas y sgrin” i'w weld yn ffig. 6.

Reis. 6 Graff y swyddogaeth "amddiffyn y cant".

Hafaliad Eclipse a naid

Reis. 7 Rhwystro disg solar yn ystod yr eclips a ddangosir yn ffig. 6

Byddai problem eclipsau yn anghyflawn pe na baem yn ystyried achos cylchoedd. Mae hyn yn llawer mwy cymhleth, ond gadewch i ni geisio darganfod pan fydd un cylch yn eclipsio hanner y llall - ac yn yr achos symlaf, pan fydd un ohonyn nhw'n symud ar hyd y diamedr gan gysylltu'r ddau ohonyn nhw. Mae'r llun yn gyfarwydd i ddeiliaid rhai cardiau credyd.

Mae cyfrifo lleoliad y meysydd yn gymhleth, gan ei fod yn gofyn, yn gyntaf, gwybodaeth am y fformiwla ar gyfer arwynebedd segment crwn, yn ail, gwybodaeth am arc yr ongl, ac yn drydydd (a gwaethaf oll), y gallu i ddatrys hafaliad naid penodol. Ni fyddaf yn esbonio beth yw "hafaliad transitive", gadewch i ni edrych ar enghraifft (Ffig. 8).

Reis. 8 Eclipse "Spherical".

Adran gylchol yw'r "bowlen" sy'n weddill ar ôl torri cylch gyda llinell syth. Arwynebedd segment o'r fath yw S = 1/2r²(φ-sinφ), lle r yw radiws y cylch, a φ yw'r ongl ganolog y mae'r segment yn gorwedd arni (Ffig. 8). Gellir cael hyn yn hawdd trwy dynnu arwynebedd y triongl o arwynebedd y sector cylchol.

Pennod O₁O₂ (mae'r pellter rhwng canol y cylchoedd wedyn) yn hafal i 2rcosφ/2, a'r uchder (lled, “waistline”) h = 2rsinφ/2. Felly, os ydym am gyfrifo pryd y bydd y Lleuad yn gorchuddio hanner y ddisg solar, mae angen i ni ddatrys yr hafaliad: sydd, ar ôl ei symleiddio, yn dod yn:

Reis. 9 Graffiau o ddwy ffwythiant

Mae datrysiad hafaliadau o'r fath yn mynd y tu hwnt i algebra syml - mae'r hafaliad yn cynnwys onglau a'u ffwythiannau trigonometrig. Mae'r hafaliad y tu hwnt i gyrraedd dulliau traddodiadol. Dyna pam y'i gelwir neidio. Edrychwn yn gyntaf ar graffiau'r ddwy swyddogaeth, h.y. ffwythiannau a ffwythiannau. Gallwn ddarllen bras ateb o'r ffigwr hwn. Fodd bynnag, gallwn gael brasamcan iterus neu ... defnyddiwch yr opsiwn Datryswr yn y daenlen Excel. Dylai pob myfyriwr ysgol uwchradd allu gwneud hyn, oherwydd dyma'r 20fed ganrif. Defnyddiais offeryn Mathematica mwy soffistigedig a dyma ein datrysiad gyda XNUMX o leoedd degol o drachywiredd diangen:

SetPrecision [FindRoot [x == Pechod [x] + Pi / 2, {x, 2}], 20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Reis. 10 Animeiddiad o eclips mewn matematica

Rydyn ni'n troi hwn yn raddau trwy luosi â 180/π. Rydyn ni'n cael 132 gradd, 20 munud, 45 a chwarter eiliad arc. Rydyn ni'n cyfrifo mai'r pellter i ganol y cylch yw O₁O₂ = radiws 0,808, a "waist" 2,310.