Llwybrau geometrig a dryslwyni

Wrth ysgrifennu'r erthygl hon, cofiais gân hen iawn gan Jan Pietrzak, a ganodd cyn ei weithgaredd dychanol yn y cabaret Pod Egidą, a gydnabyddir yng Ngweriniaeth Pobl Pwylaidd fel falf diogelwch; gallai rhywun chwerthin yn onest am baradocsau'r system. Yn y gân hon, argymhellodd yr awdur gyfranogiad gwleidyddol sosialaidd, gan wawdio'r rhai sydd am fod yn anwleidyddol a diffodd y radio yn y papur newydd. “Mae’n well mynd yn ôl i’r ysgol yn darllen,” canodd Petshak, sy’n XNUMX, ar y pryd yn eironig.

Rwy'n mynd yn ôl i'r ysgol yn darllen. Rwy’n ailddarllen (nid am y tro cyntaf) llyfr Shchepan Yelensky (1881-1949) “Lylavati”. I ychydig o ddarllenwyr, mae'r gair ei hun yn dweud rhywbeth. Dyma enw merch y mathemategydd Hindŵaidd enwog o'r enw Bhaskara (1114-1185), o'r enw Akaria, neu'r doeth a roddodd yr enw hwnnw ar ei lyfr ar algebra. Yn ddiweddarach daeth Lilavati yn fathemategydd ac athronydd enwog ei hun. Yn ôl ffynonellau eraill, hi a ysgrifennodd y llyfr ei hun.

Rhoddodd Szczepan Yelensky yr un teitl i'w lyfr ar fathemateg (argraffiad cyntaf, 1926). Efallai ei bod hi hyd yn oed yn anodd galw'r llyfr hwn yn waith mathemategol - roedd yn fwy o set o bosau, ac wedi'i ailysgrifennu i raddau helaeth o ffynonellau Ffrengig (nid oedd hawliau yn yr ystyr modern yn bodoli). Beth bynnag, am flynyddoedd lawer dyma oedd yr unig lyfr Pwyleg poblogaidd ar fathemateg - yn ddiweddarach ychwanegwyd ail lyfr Jelensky, Pythagoras's Sweets, ato. Felly doedd gan bobl ifanc oedd â diddordeb mewn mathemateg (sef yn union beth oeddwn i unwaith) ddim byd i ddewis ohono ...

ar y llaw arall, roedd yn rhaid i "Lilavati" gael ei adnabod bron ar gof... Ah, roedd yna adegau... Eu mantais fwyaf oedd fy mod yn... yn fy arddegau bryd hynny. Heddiw, o safbwynt mathemategydd addysgedig, rwy'n edrych ar Lilavati mewn ffordd hollol wahanol - efallai fel dringwr ar droadau'r llwybr i Shpiglasova Pshelench. Nid yw'r naill na'r llall yn colli ei swyn ... Yn ei arddull nodweddiadol, Shchepan Yelensky, sy'n arddel yr hyn a elwir yn syniadau cenedlaethol yn ei fywyd personol, mae'n ysgrifennu yn y rhagair:

Heb gyffwrdd â'r disgrifiad o nodweddion cenedlaethol, dywedaf, hyd yn oed ar ôl naw deg mlynedd, nad yw geiriau Yelensky am fathemateg wedi colli eu perthnasedd. Mae mathemateg yn eich dysgu i feddwl. Mae’n ffaith. A allwn ni eich dysgu i feddwl yn wahanol, yn symlach ac yn fwy prydferth? Efallai. Dim ond... allwn ni dal ddim. Rwy'n esbonio i'm myfyrwyr nad ydyn nhw eisiau gwneud mathemateg fod hyn hefyd yn brawf o'u deallusrwydd. Os na allwch chi ddysgu theori mathemateg syml iawn, yna ... efallai bod eich galluoedd meddyliol yn waeth nag y byddai'r ddau ohonom yn hoffi ...?

Arwyddion yn y tywod

A dyma'r stori gyntaf yn "Lylavati" - stori a ddisgrifiwyd gan yr athronydd Ffrengig Joseph de Maistre (1753-1821).

Taflwyd morwr o long ddrylliedig gan donnau i lan wag, yr hon a ystyriai yn anghyfannedd. Yn sydyn, yn y tywod arfordirol, gwelodd olion ffigwr geometrig wedi'i dynnu o flaen rhywun. Dyna pryd y sylweddolodd nad yw'r ynys yn anghyfannedd!

Gan ddyfynnu de Mestri, mae Yelensky yn ysgrifennu: ffigwr geometrigbuasai yn fynegiant mud i'r cyd-ddigwyddiad anffodus, llongddrylliedig, ond dangosodd iddo gipolwg ar gyfrannedd a rhif, a rhag-ddywedodd hyn ddyn goleuedig. Cymaint am hanes.

Sylwch y bydd morwr yn achosi'r un adwaith, er enghraifft, trwy dynnu'r llythyren K, ... ac unrhyw olion eraill o bresenoldeb person. Yma mae'r geometreg yn ddelfrydol.

Fodd bynnag, cynigiodd y seryddwr Camille Flammarion (1847-1925) fod gwareiddiadau yn cyfarch ei gilydd o bell gan ddefnyddio geometreg. Gwelodd yn hyn yr unig ymgais gywir a phosibl i gyfathrebu. Gadewch i ni ddangos y trionglau Pythagorean i'r Marsiaid o'r fath ... byddant yn ein hateb â Thales, byddwn yn eu hateb â phatrymau Vieta, bydd eu cylch yn ffitio i driongl, felly dechreuodd cyfeillgarwch ...

Dychwelodd awduron fel Jules Verne a Stanislav Lem at y syniad hwn. Ac ym 1972, gosodwyd teils gyda phatrymau geometrig (ac nid yn unig) ar fwrdd y chwiliedydd Pioneer, sy'n dal i groesi'r gofod, sydd bellach bron i 140 o unedau seryddol oddi wrthym ni (1 I yw pellter cyfartalog y Ddaear o'r Ddaear) . Haul, h.y., tua 149 miliwn km). Dyluniwyd y deilsen, yn rhannol, gan y seryddwr Frank Drake, crëwr y rheol ddadleuol ar nifer y gwareiddiadau allfydol.

Mae geometreg yn anhygoel. Gwyddom oll y safbwynt cyffredinol ar darddiad y wyddoniaeth hon. Rydyn ni (ein bodau dynol) newydd ddechrau mesur y tir (ac yn ddiweddarach y tir) at y dibenion mwyaf iwtilitaraidd. Yn raddol daeth yn anghenraid pennu pellteroedd, tynnu llinellau syth, marcio onglau sgwâr a chyfrifo cyfeintiau. Felly yr holl beth geometreg (“Mesur y ddaear”), a dyna pam mae pob mathemateg ...

Fodd bynnag, am beth amser bu'r darlun clir hwn o hanes gwyddoniaeth yn ein cymylu. Oherwydd pe bai angen mathemateg at ddibenion gweithredol yn unig, ni fyddem yn ymwneud â phrofi theoremau syml. “Rydych chi'n gweld y dylai hyn fod yn wir o gwbl,” byddai rhywun yn dweud ar ôl gwirio bod swm sgwariau'r hypotenws mewn sawl triongl sgwâr yn hafal i sgwâr yr hypotenws. Pam ffurfioldeb o'r fath?

Mae'n rhaid i bastai eirin fod yn flasus, mae'n rhaid i'r rhaglen gyfrifiadurol weithio, mae'n rhaid i'r peiriant weithio. Pe bawn i'n cyfrif cynhwysedd y gasgen ddeg ar hugain o weithiau a bod popeth mewn trefn, yna pam arall?

Yn y cyfamser, daeth yn amlwg i'r Groegiaid hynafol fod angen dod o hyd i dystiolaeth ffurfiol.

Felly, mae mathemateg yn dechrau gyda Thales (625-547 CC). Tybir mai Miletus a ddechreuodd feddwl tybed pam. Nid yw'n ddigon i bobl glyfar eu bod wedi gweld rhywbeth, eu bod yn argyhoeddedig o rywbeth. Gwelsant yr angen am brawf, dilyniant rhesymegol o ddadleuon o dybiaeth i draethawd ymchwil.

Roedden nhw eisiau mwy hefyd. Mae'n debyg mai Thales a geisiodd esbonio ffenomenau corfforol mewn ffordd naturiolaidd gyntaf, heb ymyrraeth ddwyfol. Dechreuodd athroniaeth Ewropeaidd gydag athroniaeth natur - gyda'r hyn sydd eisoes y tu ôl i ffiseg (felly'r enw: metaffiseg). Ond gosodwyd sylfeini ontoleg Ewropeaidd ac athroniaeth naturiol gan y Pythagoreans ( Pythagoras , c. 580-c. 500 CC).

Sefydlodd ei ysgol ei hun yn Crotone yn ne Penrhyn Apennine - heddiw byddem yn ei galw'n sect. Mae gwyddoniaeth (yn ystyr presennol y gair), cyfriniaeth, crefydd a ffantasi i gyd yn cydblethu'n agos. Cyflwynodd Thomas Mann wersi mathemateg yn hyfryd iawn mewn campfa Almaeneg yn y nofel Doctor Faustus. Wedi'i gyfieithu gan Maria Kuretskaya a Witold Virpsha, mae'r darn hwn yn darllen:

Yn llyfr diddorol Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present , deuthum o hyd i safbwynt diddorol iawn. Yn un o'r penodau, mae'r awdur yn disgrifio arwyddocâd yr ysgol Pythagorean. Roedd union deitl y bennod wedi fy nharo. Mae'n darllen: "Dyfeisio Mathemateg: Y Pythagoreans".

Rydym yn aml yn trafod a yw damcaniaethau mathemategol yn cael eu darganfod (e.e. tiroedd anhysbys) neu eu dyfeisio (e.e. peiriannau nad oedd yn bodoli o'r blaen). Mae rhai mathemategwyr creadigol yn gweld eu hunain fel ymchwilwyr, eraill fel dyfeiswyr neu ddylunwyr, cownteri yn llai aml.

Ond mae awdur y llyfr hwn yn ysgrifennu am ddyfeisio mathemateg yn gyffredinol.

O or-ddweud i lledrith

Ar ôl y rhan ragarweiniol hir hon, symudaf ymlaen i'r cychwyn cyntaf. geometregi ddisgrifio sut y gall gorddibyniaeth ar geometreg gamarwain gwyddonydd. Mae Johannes Kepler yn adnabyddus mewn ffiseg a seryddiaeth fel darganfyddwr tair deddf mudiant cyrff nefol. Yn gyntaf, mae pob planed yng nghysawd yr haul yn symud o gwmpas yr haul mewn orbit eliptig, ac un o'r ffocws yw'r haul. Yn ail, yn rheolaidd mae pelydr blaen y blaned, a dynnir o'r Haul, yn tynnu meysydd cyfartal. Yn drydydd, mae cymhareb sgwâr cyfnod chwyldro planed o amgylch yr Haul i giwb echelin lled-fawr ei orbit (h.y. y pellter cyfartalog oddi wrth yr Haul) yn gyson ar gyfer pob planed yng nghysawd yr haul.

Efallai mai dyma'r drydedd gyfraith - roedd angen llawer o ddata a chyfrifiadau i'w sefydlu, a ysgogodd Kepler i barhau i chwilio am batrymau yn symudiad a lleoliad y planedau. Mae hanes ei "ddarganfyddiad" newydd yn addysgiadol iawn. Ers hynafiaeth, rydym wedi edmygu nid yn unig polyhedra rheolaidd, ond hefyd dadleuon sy'n dangos mai dim ond pump ohonyn nhw sydd yn y gofod. Gelwir polyhedron tri dimensiwn yn rheolaidd os yw ei wynebau yn bolygonau rheolaidd union yr un fath a bod gan bob fertig yr un nifer o ymylon. Yn ddarluniadol, dylai pob cornel o polyhedron rheolaidd "edrych yr un peth". Y polyhedron mwyaf enwog yw'r ciwb. Mae pawb wedi gweld ffêr cyffredin.

Mae'r tetrahedron rheolaidd yn llai adnabyddus, ac yn yr ysgol fe'i gelwir yn byramid trionglog rheolaidd. Mae'n edrych fel pyramid. Mae'r tri polyhedra rheolaidd sy'n weddill yn llai adnabyddus. Mae octahedron yn cael ei ffurfio pan fyddwn yn cysylltu canol ymylon ciwb. Mae'r dodecahedron a'r icosahedron eisoes yn edrych fel peli. Wedi'u gwneud o ledr meddal, byddent yn gyfforddus i gloddio. Mae'r rhesymu nad oes polyhedra rheolaidd ar wahân i'r pum solid Platonig yn dda iawn. Yn gyntaf, rydym yn sylweddoli, os yw'r corff yn rheolaidd, yna rhaid i'r un nifer (let q) o bolygonau rheolaidd union yr un fath gydgyfeirio ar bob fertig, gadewch i'r rhain fod yn onglau-p. Nawr mae angen inni gofio beth yw'r ongl mewn polygon rheolaidd. Os nad yw rhywun yn cofio o'r ysgol, rydym yn eich atgoffa sut i ddod o hyd i'r patrwm cywir. Aethon ni ar daith rownd y gornel. Ar bob fertig rydym yn troi drwy'r un ongl a. Pan fyddwn yn mynd o gwmpas y polygon ac yn dychwelyd i'r man cychwyn, rydym wedi gwneud p tro o'r fath, ac rydym wedi troi 360 gradd i gyd.

Ond mae α yn gyflenwad 180 gradd o'r ongl yr ydym am ei gyfrifo, ac felly mae

Rydym wedi darganfod y fformiwla ar gyfer ongl (byddai mathemategydd yn dweud: mesurau ongl) polygon rheolaidd. Gadewch i ni wirio: yn y triongl p = 3, nid oes a

Fel hyn. Pan p = 4 (sgwâr), yna

graddau yn iawn hefyd.

Beth gawn ni am bentagon? Felly beth sy'n digwydd pan fo polygonau q, gyda phob p â'r un onglau

 graddau yn disgyn ar un fertig? Pe bai ar awyren, yna byddai ongl yn ffurfio

graddau ac ni all fod yn fwy na 360 gradd - oherwydd wedyn mae'r polygonau'n gorgyffwrdd.

Fodd bynnag, gan fod y polygonau hyn yn cwrdd yn y gofod, rhaid i'r ongl fod yn llai na'r ongl lawn.

A dyma'r anghydraddoldeb y mae'r cyfan yn dilyn ohono:

Rhannwch ef â 180, lluoswch y ddwy ran â p, trefn (p-2) (q-2) < 4. Beth sy'n dilyn? Gadewch i ni fod yn ymwybodol bod yn rhaid i p a q fod yn rhifau naturiol a bod p > 2 (pam? a beth yw p?) a hefyd q > 2. Does dim llawer o ffyrdd o wneud cynnyrch dau rif naturiol yn llai na 4. Ni Bydd yn eu rhestru i gyd yn nhabl 1.

Dydw i ddim yn postio darluniau, mae pawb yn gallu gweld y ffigurau hyn ar y Rhyngrwyd... Ar y Rhyngrwyd... Ni fyddaf yn gwrthod digression telynegol - efallai ei fod yn ddiddorol i ddarllenwyr ifanc. Ym 1970 siaradais mewn seminar. Roedd y pwnc yn anodd. Doedd gen i fawr o amser i baratoi, eisteddais gyda'r hwyr. Darllenwyd y brif erthygl yn unig yn ei lle. Roedd y lle yn glyd, gydag awyrgylch gweithiol, wel, caeodd am saith. Yna cynigiodd y briodferch (fy ngwraig bellach) ei hun i ailysgrifennu'r erthygl gyfan i mi: tua dwsin o dudalennau printiedig. Fe wnes i ei gopïo (na, nid gyda beiro cwils, roedd gennym ni beiros hyd yn oed), roedd y ddarlith yn llwyddiant. Heddiw ceisiais ddod o hyd i'r cyhoeddiad hwn, sydd eisoes yn hen. Dim ond enw'r awdur dwi'n ei gofio... Fe barhaodd chwiliadau ar y Rhyngrwyd am amser hir... pymtheg munud llawn. Rwy'n meddwl am y peth gyda gwenu ac ychydig o ofid anghyfiawn.

Awn yn ôl i Keplera a geometreg. Yn ôl pob tebyg, rhagfynegodd Plato fodolaeth y pumed ffurf reolaidd oherwydd nad oedd ganddo rywbeth uno, a oedd yn cwmpasu'r byd i gyd. Efallai mai dyna pam y rhoddodd gyfarwyddyd i fyfyriwr (Theajtet) i chwilio amdani. Fel yr oedd, felly y bu, ar sail pa un y darganfyddwyd y dodecahedron. Pantheistiaeth Plato rydyn ni'n galw'r agwedd hon. Ildiodd pob gwyddonydd, i lawr i Newton, iddo i raddau mwy neu lai. Ers y ddeunawfed ganrif hynod resymegol, mae ei dylanwad wedi lleihau’n sylweddol, er na ddylem gywilyddio ein bod i gyd yn ildio iddi mewn rhyw ffordd neu’i gilydd.

Yng nghysyniad Kepler o adeiladu'r system solar, roedd popeth yn gywir, roedd y data arbrofol yn cyd-fynd â'r theori, roedd y ddamcaniaeth yn rhesymegol gydlynol, yn hardd iawn ... ond yn gwbl ffug. Yn ei amser, dim ond chwe phlaned oedd yn hysbys: Mercwri, Venus, y Ddaear, Mars, Iau a Sadwrn. Pam mai dim ond chwe phlaned sydd? gofynnodd Kepler. A pha reoleidd-dra sy'n pennu eu pellter o'r Haul? Roedd yn cymryd bod popeth yn gysylltiedig, hynny geometreg a chosmogony yn perthyn yn agos i'w gilydd. Oddiwrth ysgrifeniadau yr hen Roegiaid, gwyddai nad oedd ond pum polyhedra rheolaidd. Gwelodd fod pum gwagle rhwng y chwe orbit. Felly efallai bod pob un o'r lleoedd rhydd hyn yn cyfateb i rai polyhedron rheolaidd?

Ar ôl sawl blwyddyn o arsylwi a gwaith damcaniaethol, creodd y ddamcaniaeth ganlynol, gyda chymorth y cyfrifodd yn eithaf cywir ddimensiynau'r orbitau, a gyflwynodd yn y llyfr "Mysterium Cosmographicum", a gyhoeddwyd ym 1596: Dychmygwch faes enfawr, a'i ddiamedr yw diamedr orbit Mercwri yn ei symudiad blynyddol o amgylch yr haul. Yna dychmygwch fod ar y sffêr hwn fod octahedron rheolaidd, arno sffêr, arno icosahedron, arno eto sffêr, dodecahedron arno, arno sffêr arall, arno tetrahedron, yna eto sffêr, ciwb ac, yn olaf, ar y ciwb hwn mae'r bêl yn cael ei disgrifio.

Daeth Kepler i'r casgliad mai diamedrau'r sfferau olynol hyn oedd diamedrau orbitau planedau eraill: Mercwri, Venus, y Ddaear, Mars, Iau, a Sadwrn. Roedd y ddamcaniaeth yn ymddangos yn gywir iawn. Yn anffodus, roedd hyn yn cyd-fynd â'r data arbrofol. A pha dystiolaeth well o gywirdeb damcaniaeth fathemategol na'i gohebiaeth â data arbrofol neu ddata arsylwi, yn enwedig "wedi'i gymryd o'r nefoedd"? Rwy'n crynhoi'r cyfrifiadau hyn yn Nhabl 2. Felly beth wnaeth Kepler? Ceisiais a cheisio nes iddo weithio allan, hynny yw, pan oedd y cyfluniad (trefn y sfferau) a'r cyfrifiadau a gafwyd yn cyd-fynd â'r data arsylwi. Dyma ffigurau a chyfrifiadau modern Kepler:

Gall rhywun ildio i gyfaredd y ddamcaniaeth a chredu bod y mesuriadau yn yr awyr yn anghywir, ac nid y cyfrifiadau a wneir yn nhawelwch y gweithdy. Yn anffodus, heddiw rydym yn gwybod bod o leiaf naw planed ac mai dim ond cyd-ddigwyddiad yw pob cyd-ddigwyddiad canlyniadau. Trueni. Roedd mor brydferth ...