swyn gwrthdroi

Mae llawer o sôn am y "swyn o gyferbyniadau", ac nid yn unig mewn mathemateg. Cofiwch mai rhifau cyferbyn yw'r rhai sy'n gwahaniaethu o ran arwydd yn unig: plws 7 a minws 7. Swm y rhifau cyferbyn yw sero. Ond i ni (h.y. mathemategwyr) mae'r dwyochrol yn fwy diddorol. Os yw lluoswm y rhifau yn hafal i 1, yna mae'r rhifau hyn yn wrthdro i'w gilydd. Mae gan bob rhif ei gyferbyn, mae gan bob rhif nad yw'n sero ei wrthdro. Cymharol y cilyddol yw yr hedyn.

Mae gwrthdroad yn digwydd lle bynnag y mae dau swm yn gysylltiedig â'i gilydd felly os bydd un yn cynyddu, mae'r llall yn gostwng ar gyfradd gyfatebol. Mae "perthnasol" yn golygu nad yw cynnyrch y meintiau hyn yn newid. Cofiwn o'r ysgol: cyfran wrthdro yw hon. Os ydw i eisiau cyrraedd fy nghyrchfan ddwywaith mor gyflym (h.y. torri’r amser yn ei hanner), mae angen i mi ddyblu fy nghyflymder. Os yw cyfaint llestr wedi'i selio â nwy yn cael ei leihau gan n gwaith, yna bydd ei bwysau yn cynyddu n gwaith.

Mewn addysg elfennol, rydym yn gwahaniaethu'n ofalus rhwng cymariaethau gwahaniaethol a chymharol. "Faint mwy"? - "Sawl gwaith yn fwy?"

Dyma rai o weithgareddau’r ysgol:

Swydd 1. O'r ddau werth positif, mae'r cyntaf 5 gwaith yn fwy na'r ail ac ar yr un pryd 5 gwaith yn fwy na'r cyntaf. Beth yw'r dimensiynau?

Swydd 2. Os yw un rhif 3 yn fwy na'r ail, a'r ail 2 yn fwy na'r trydydd, faint yn fwy yw'r rhif cyntaf na'r trydydd? Os yw'r rhif positif cyntaf ddwywaith yr ail, a'r rhif cyntaf deirgwaith y trydydd, sawl gwaith mae'r rhif cyntaf yn fwy na'r trydydd?

Swydd 3. Yn nhasg 2, dim ond rhifau naturiol a ganiateir. A yw trefniant o'r fath fel y disgrifir yno yn bosibl?

Swydd 4. O'r ddau werth cadarnhaol, mae'r cyntaf 5 gwaith yr ail, a'r ail yw 5 gwaith y cyntaf. A yw'n bosibl?

Mae'r cysyniad o "cyfartaledd" neu "gyfartaledd" yn ymddangos yn syml iawn. Pe bawn i'n beicio 55 km ar ddydd Llun, 45 km ar ddydd Mawrth, a 80 km ddydd Mercher, ar gyfartaledd roeddwn i'n beicio 60 km y dydd. Rydym yn cytuno'n llwyr â'r cyfrifiadau hyn, er eu bod ychydig yn rhyfedd oherwydd nid wyf wedi gyrru 60 km mewn un diwrnod. Rydym yr un mor hawdd derbyn cyfrannau person: os bydd dau gant o bobl yn ymweld â bwyty o fewn chwe diwrnod, yna'r gyfradd ddyddiol gyfartalog yw 33 a thraean o bobl. Hm!

Dim ond gyda'r maint cyfartalog y mae problemau. Dw i'n hoffi beicio. Felly manteisiais ar gynnig yr asiantaeth deithio "Gadewch i ni fynd gyda ni" - maen nhw'n danfon bagiau i'r gwesty, lle mae'r cleient yn reidio beic at ddibenion hamdden. Ddydd Gwener gyrrais am bedair awr: y ddau gyntaf ar gyflymder o 24 km yr awr. Yna fe wnes i flino cymaint fel mai dim ond 16 yr awr am y ddau nesaf. Beth oedd fy nghyflymder cyfartalog? Wrth gwrs (24+16)/2=20km=20km/awr.

Ddydd Sadwrn, fodd bynnag, gadawyd y bagiau yn y gwesty, ac es i weld adfeilion y castell, sydd 24 km i ffwrdd, ac wedi eu gweld, dychwelais. Gyrrais awr i un cyfeiriad, dychwelais yn ôl yn arafach, ar gyflymder o 16 km yr awr. Beth oedd fy nghyflymder cyfartalog ar y llwybr gwesty-castell-gwesty? 20 km yr awr? Wrth gwrs ddim. Wedi’r cyfan, gyrrais gyfanswm o 48 km a chymerodd awr i mi (“yno”) ac awr a hanner yn ôl. 48 km mewn dwy awr a hanner, h.y. awr 48/2,5=192/10=19,2 km! Yn y sefyllfa hon, nid y cymedr rhifyddol yw'r buanedd cyfartalog, ond harmonig y gwerthoedd a roddir:

a gellir darllen y fformiwla ddwy stori hon fel a ganlyn: cymedr harmonig rhifau positif yw cymedr rhifyddol eu dwyochrog. Mae cilyddol swm y ddwyochrog yn ymddangos mewn llawer o gytganau o aseiniadau ysgol: os yw un gweithiwr yn cloddio oriau, y llall - b oriau, yna, gan weithio gyda'i gilydd, maen nhw'n cloddio ar amser. pwll dŵr (un yr awr, a'r llall ar b awr). Os oes gan un gwrthydd R1 a'r llall R2, yna mae ganddyn nhw wrthiant cyfochrog. 

Os gall un cyfrifiadur ddatrys problem mewn eiliadau, cyfrifiadur arall mewn b eiliad, yna pan fyddant yn gweithio gyda'i gilydd...

Stopiwch! Dyma lle mae'r gyfatebiaeth yn dod i ben, oherwydd mae popeth yn dibynnu ar gyflymder y rhwydwaith: effeithlonrwydd y cysylltiadau. Gall gweithwyr hefyd rwystro neu helpu ei gilydd. Os gall un dyn gloddio ffynnon mewn wyth awr, a all wyth deg o weithwyr ei wneud mewn 1/10 o awr (neu 6 munud)? Os bydd chwe phorthor yn mynd â’r piano i’r llawr cyntaf mewn 6 munud, pa mor hir y bydd yn ei gymryd i un ohonyn nhw ddanfon y piano i’r trigainfed llawr? Mae abswrdiaeth problemau o'r fath yn dwyn i gof gymhwysedd cyfyngedig pob mathemateg i broblemau "o fywyd".

Gwerthwr annwyl 

Nid yw'r graddfeydd yn cael eu defnyddio mwyach. Dwyn i gof fod pwysau yn cael ei osod ar un bowlen o'r fath glorian, a'r nwyddau oedd yn cael eu pwyso yn cael eu gosod ar y llall, a phan oedd y pwysau mewn cydbwysedd, yna roedd y nwyddau yn pwyso cymaint â'r pwysau. Wrth gwrs, rhaid i ddwy fraich y llwyth pwysau fod yr un hyd, fel arall bydd y pwyso yn anghywir.

O iawn. Dychmygwch werthwr sydd â phwysau â throsoledd anghyfartal. Fodd bynnag, mae am fod yn onest gyda'r cwsmeriaid ac mae'n pwyso'r nwyddau mewn dau swp. Yn gyntaf, mae'n rhoi pwysau ar un sosban, ac ar y llall swm cyfatebol o nwyddau - fel bod y graddfeydd mewn cydbwysedd. Yna mae'n pwyso ail "hanner" y nwyddau mewn trefn wrthdro, hynny yw, mae'n rhoi'r pwysau ar yr ail bowlen, a'r nwyddau ar y cyntaf. Gan fod y dwylo'n anghyfartal, nid yw'r "haneri" byth yn gyfartal. Ac mae cydwybod y gwerthwr yn glir, ac mae prynwyr yn canmol ei onestrwydd: "Yr hyn a dynnais yma, ychwanegais wedyn."

Fodd bynnag, gadewch i ni edrych yn agosach ar ymddygiad gwerthwr sydd am fod yn onest er gwaethaf y pwysau ansicr. Gadewch i freichiau'r cydbwysedd gael hyd a a b. Os yw un o'r powlenni wedi'i llwytho â phwysau cilogram a'r llall â x nwyddau, yna mae'r glorian mewn cydbwysedd os yw ax = b y tro cyntaf a bx = a yr eildro. Felly, mae rhan gyntaf y nwyddau yn hafal i b / cilogram, mae'r ail ran yn a / b. Mae gan bwysau da a = b, felly bydd y prynwr yn derbyn 2 kg o nwyddau. Gawn ni weld beth sy'n digwydd pan a ≠ b. Yna a – b ≠ 0 ac o'r fformiwla lluosi gostyngedig sydd gennym

Daethom i ganlyniad annisgwyl: mae'r dull sy'n ymddangos yn deg o "gyfartaledd" y mesuriad yn yr achos hwn yn gweithio er budd y prynwr, sy'n derbyn mwy o nwyddau.

Tasg 5. (Pwysig, nid mewn mathemateg o bell ffordd!). Mae mosgito yn pwyso 2,5 miligram, ac eliffant pum tunnell (mae hwn yn ddata eithaf cywir). Cyfrifwch gymedr rhifyddol, cymedr geometrig, a chymedr harmonig masau'r mosgito a'r eliffant (pwysau). Gwiriwch y cyfrifiadau i weld a ydynt yn gwneud unrhyw synnwyr ar wahân i ymarferion rhifyddeg. Gadewch i ni edrych ar enghreifftiau eraill o gyfrifiadau mathemategol nad ydynt yn gwneud synnwyr mewn "bywyd go iawn". Awgrym: Rydym eisoes wedi edrych ar un enghraifft yn yr erthygl hon. A yw hyn yn golygu bod myfyriwr dienw yr oedd ei farn ar y Rhyngrwyd yn gywir: “Mae mathemateg yn twyllo pobl â rhifau”?

Ydw, dwi’n cytuno, ym mawredd mathemateg, eich bod chi’n gallu “ffolio” pobol – mae pob eiliad o hysbyseb siampŵ yn dweud ei fod yn cynyddu fluffiness o ryw ganran. A ddylem chwilio am enghreifftiau eraill o offer defnyddiol bob dydd y gellir eu defnyddio ar gyfer gweithgarwch troseddol?

Gramau!

Mae teitl y darn hwn yn ferf (person cyntaf lluosog) nid enw (enwol lluosog o filfed ran o gilogram). Mae harmoni yn awgrymu trefn a cherddoriaeth. I'r Groegiaid hynafol, cangen o wyddoniaeth oedd cerddoriaeth - rhaid addef, os dywedwn felly, ein bod yn trosglwyddo ystyr presennol y gair "gwyddoniaeth" i'r amser cyn ein cyfnod. Roedd Pythagoras yn byw yn y XNUMXth ganrif CC. Nid yn unig nad oedd yn gwybod y cyfrifiadur, ffôn symudol ac e-bost, ond nid oedd hefyd yn gwybod pwy oedd Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne a Cicero. Nid oedd yn gwybod naill ai Arabeg na hyd yn oed rhifolion Rhufeinig (daethant i ddefnydd tua'r XNUMXed ganrif CC), ni wyddai beth oedd y Rhyfeloedd Pwnig ... Ond roedd yn gwybod cerddoriaeth ...

Gwyddai fod cyfernodau dirgryniad mewn cyfrannedd gwrthdro â hyd rhannau dirgrynol y tannau ar offerynnau llinynnol. Roedd yn gwybod, roedd yn gwybod, ni allai ei fynegi fel yr ydym yn ei wneud heddiw.

Mae amlder y ddau ddirgryniad llinyn sy'n ffurfio wythfed mewn cymhareb 1:2, hynny yw, mae amlder y nodyn uwch ddwywaith amlder yr un isaf. Y gymhareb ddirgryniad cywir ar gyfer y pumed yw 2:3, pedwerydd yw 3:4, traean mawr pur yw 4:5, traean lleiaf yw 5:6. Mae'r rhain yn gyfyngau cytseiniaid dymunol. Yna mae dau rai niwtral, gyda chymarebau dirgryniad o 6:7 a 7:8, yna rhai anghyson - tôn fawr (8:9), tôn fach (9:10). Mae'r ffracsiynau (cymharebau) hyn yn debyg i gymarebau aelodau olynol dilyniant y mae mathemategwyr (am yr union reswm hwn) yn ei alw'n gyfres harmonig:

yn swm damcaniaethol anfeidrol. Gellir ysgrifennu cymhareb osgiliadau'r wythfed fel 2:4 a rhoi pumed rhyngddynt: 2:3:4, hynny yw, byddwn yn rhannu'r wythfed yn bumed a phedwerydd. Gelwir hyn yn rhaniad segment harmonig mewn mathemateg:

Reis. 1. Ar gyfer cerddor: rhannu'r wythfed AB yn bumed AC.Ar gyfer Mathemategydd: Segmentu Harmonig

Beth ydw i'n ei olygu pan fyddaf yn siarad (uchod) am swm damcaniaethol anfeidrol, fel y gyfres harmonig? Mae'n ymddangos y gall swm o'r fath fod yn unrhyw nifer fawr, y prif beth yw ein bod yn ychwanegu am amser hir. Mae llai a llai o gynhwysion, ond mae mwy a mwy ohonynt. Beth sy'n bodoli? Yma rydyn ni'n mynd i mewn i faes dadansoddi mathemategol. Mae'n ymddangos bod y cynhwysion yn cael eu disbyddu, ond nid yn gyflym iawn. Byddaf yn dangos, trwy gymryd digon o gynhwysion, y gallaf grynhoi:

fympwyol fawr. Gadewch i ni gymryd "er enghraifft" n = 1024. Gadewch i ni grwpio'r geiriau fel y dangosir yn y ffigur:

Ym mhob cromfach, mae pob gair yn fwy na'r un blaenorol, ac eithrio, wrth gwrs, yr un olaf, sy'n hafal iddo'i hun. Yn y cromfachau canlynol, mae gennym 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 a 512 o gydrannau; mae gwerth y swm ym mhob cromfach yn fwy na ½. Mae hyn i gyd yn fwy na 5½. Byddai cyfrifiadau mwy cywir yn dangos bod y swm hwn oddeutu 7,50918. Dim llawer, ond bob amser, a gallwch weld, trwy gymryd unrhyw fawr, y gallaf berfformio'n well nag unrhyw rif. Mae'r un hon yn anhygoel o araf (er enghraifft, rydym yn y deg uchaf gyda chynhwysion yn unig), ond mae twf anfeidrol bob amser wedi swyno mathemategwyr.

Taith i anfeidredd gyda'r gyfres harmonig

Dyma bos i rai mathemateg eithaf difrifol. Mae gennym gyflenwad diderfyn o flociau hirsgwar (beth alla i ddweud, petryal!) gyda dimensiynau, dyweder, 4 × 2 × 1. Ystyriwch system sy'n cynnwys sawl (ar ffig. 2 - pedwar) bloc, wedi'u trefnu fel bod y cyntaf ar oleddf gan ½ ei hyd, yr ail oddi uchod gan ¼ ac yn y blaen, y trydydd gan un chweched. Wel, efallai i'w wneud yn wirioneddol sefydlog, gadewch i ni ogwyddo'r fricsen gyntaf ychydig yn llai. Nid oes ots ar gyfer cyfrifiadau.

Reis. 2. Pennu canol disgyrchiant

Mae hefyd yn hawdd deall, gan fod gan y ffigur sy'n cynnwys y ddau floc cyntaf (cyfrif uchod) ganol cymesuredd ym mhwynt B, yna B yw canolbwynt disgyrchiant. Gadewch i ni ddiffinio'n geometregol ganol disgyrchiant y system, sy'n cynnwys y tri bloc uchaf. Mae dadl syml iawn yn ddigon yma. Gadewch i ni rannu'r cyfansoddiad tri bloc yn ddau yn feddyliol a'r trydydd un yn is. Rhaid i'r ganolfan hon orwedd ar y rhan sy'n cysylltu canol disgyrchiant y ddwy ran. Ar ba bwynt yn y bennod hon?

Mae dwy ffordd i ddynodi. Yn y cyntaf, byddwn yn defnyddio'r sylw bod yn rhaid i'r ganolfan hon orwedd yng nghanol y pyramid tri bloc, h.y., ar linell syth sy'n croesi'r ail floc canol. Yn yr ail ffordd, rydym yn deall, gan fod gan y ddau floc uchaf gyfanswm màs o ddwywaith cymaint â bloc sengl #3 (top), rhaid i ganol disgyrchiant yr adran hon fod ddwywaith mor agos at B ag ydyw i'r canol. S o'r trydydd bloc. Yn yr un modd, rydym yn dod o hyd i'r pwynt nesaf: rydym yn cysylltu canol y tri bloc a ddarganfuwyd â chanol S y pedwerydd bloc. Mae canol y system gyfan ar uchder 2 ac ar y pwynt sy'n rhannu'r segment â 1 i 3 (hynny yw, â ¾ ei hyd).

Mae'r cyfrifiadau y byddwn yn eu gwneud ychydig ymhellach yn arwain at y canlyniad a ddangosir yn Ffig. ffig.3. Mae canolau disgyrchiant olynol yn cael eu tynnu o ymyl dde'r bloc isaf trwy:

Felly, mae rhagamcaniad canol disgyrchiant y pyramid bob amser o fewn y gwaelod. Ni fydd y tŵr yn mynd drosto. Nawr gadewch i ni edrych ar ffig. 3 ac am eiliad, gadewch i ni ddefnyddio'r pumed bloc o'r brig fel y sylfaen (yr un sydd wedi'i farcio â'r lliw mwy disglair). Gogwydd uchaf:

felly, mae ei ymyl chwith 1 ymhellach nag ymyl dde'r sylfaen. Dyma'r swing nesaf:

Beth yw'r siglen fwyaf? Rydyn ni'n gwybod yn barod! Nid oes mwyaf! Gan gymryd hyd yn oed y blociau lleiaf, gallwch gael bargodiad o un cilomedr - yn anffodus, dim ond yn fathemategol: ni fyddai'r Ddaear gyfan yn ddigon i adeiladu cymaint o flociau!

Reis. 3. Ychwanegu mwy o flociau

Nawr mae'r cyfrifiadau a adawsom uchod. Byddwn yn cyfrifo'r holl bellteroedd "yn llorweddol" ar yr echelin-x, oherwydd dyna'r cyfan sydd iddo. Mae pwynt A (canol disgyrchiant y bloc cyntaf) 1/2 o'r ymyl dde. Mae pwynt B (canol y system dau floc) 1/4 i ffwrdd o ymyl dde'r ail floc. Gadewch i'r man cychwyn fod yn ddiwedd yr ail floc (yn awr byddwn yn symud ymlaen i'r trydydd). Er enghraifft, ble mae canol disgyrchiant bloc sengl #3? Hanner hyd y bloc hwn, felly, mae'n 1/2 + 1/4 = 3/4 o'n pwynt cyfeirio. Ble mae pwynt C? Mewn dwy ran o dair o'r segment rhwng 3/4 ac 1/4, h.y. ar y pwynt blaenorol, rydym yn newid y pwynt cyfeirio i ymyl dde'r trydydd bloc. Bellach mae canol disgyrchiant y system tri bloc yn cael ei dynnu o'r pwynt cyfeirio newydd, ac ati. Canol disgyrchiant C_n mae tŵr sy’n cynnwys n bloc 1/2n i ffwrdd o’r pwynt cyfeirio syth, sef ymyl dde’r bloc sylfaen, h.y. yr nfed bloc o’r brig.

Gan fod y gyfres o cilyddol yn dargyfeirio, gallwn gael unrhyw amrywiad mawr. A ellid gweithredu hyn mewn gwirionedd? Mae fel tŵr brics diddiwedd - yn hwyr neu'n hwyrach bydd yn cwympo o dan ei bwysau ei hun. Yn ein cynllun, mae'r gwallau lleiaf posibl mewn lleoliad bloc (a'r cynnydd araf yn symiau rhannol y gyfres) yn golygu na fyddwn yn mynd yn bell iawn.