Modelau syml gydag ymddygiad cymhleth h.y. anhrefn

Mae'r cyfrifiadur yn arf sy'n cael ei ddefnyddio fwyfwy gan wyddonwyr i ddatgelu cyfrinachau sydd wedi'u cuddio'n ofalus gan natur. Mae modelu, ynghyd ag arbrawf a theori, yn dod yn drydedd ffordd i astudio'r byd.

Dair blynedd yn ôl, ym Mhrifysgol Silesia, fe ddechreuon ni raglen i integreiddio dulliau cyfrifiadurol i addysg. O ganlyniad, mae llawer o ddeunyddiau didactig hynod gyffrous wedi'u creu, gan ei gwneud hi'n haws ac yn ddyfnach astudio llawer o bynciau. Dewiswyd Python fel y prif offeryn, sydd, ynghyd â grym y llyfrgelloedd gwyddonol sydd ar gael, yn ôl pob tebyg yr ateb gorau ar gyfer "arbrofion cyfrifiadurol" gyda hafaliadau, delweddau neu ddata. Un o weithrediadau mwyaf diddorol mainc waith gyflawn yw Sage [2]. Mae'n integreiddiad agored o'r system algebra gyfrifiadurol gyda'r iaith Python, ac mae hefyd yn caniatáu ichi ddechrau chwarae ar unwaith gan ddefnyddio porwr gwe ac un o'r opsiynau mynediad posibl trwy wasanaeth cwmwl [3] neu weinydd cyfrifiadurol sengl y mae'r rhyngweithiol fersiwn o'r erthygl hon yn seiliedig ar [4] .

Anrhefn mewn ecoleg

Yn y blynyddoedd 1af ym Mhrifysgol Rhydychen, astudiodd y gwyddonydd o Awstralia Robert May agweddau damcaniaethol dynameg demograffig. Crynhodd ei waith mewn papur a ymddangosodd yn y cyfnodolyn Nature o dan y teitl pryfoclyd "Simple Mathematical Models with Very Complex Dynamics" [XNUMX]. Dros y blynyddoedd, mae'r erthygl hon wedi dod yn un o'r gweithiau mwyaf poblogaidd ym maes ecoleg ddamcaniaethol. Beth achosodd y fath ddiddordeb yn y gwaith hwn?

Problem glasurol dynameg poblogaeth yw cyfrifo poblogaeth rhywogaeth benodol yn y dyfodol, o ystyried ei chyflwr presennol. Yn fathemategol, ystyriwyd mai ecosystemau oedd y symlaf lle mae bywyd un genhedlaeth o'r boblogaeth yn para un tymor. Enghraifft dda yw poblogaeth o bryfed sy'n cael metamorffosis cyflawn mewn un tymor, fel glöynnod byw. Rhennir amser yn naturiol yn gyfnodau arwahanol2 sy'n cyfateb i gylchredau bywyd y boblogaeth. Felly, mae gan yr hafaliadau sy'n disgrifio ecosystem o'r fath yr hyn a elwir yn naturiol amser arwahanol, h.y. t = 1,2,3 …. Ymdriniodd Robert May â dynameg o'r fath, ymhlith pethau eraill. Yn ei ymresymiad, symleiddiodd yr ecosystem i un rhywogaeth yr oedd ei phoblogaeth yn swyddogaeth cwadratig o boblogaeth y flwyddyn flaenorol. O ble daeth y model hwn?

Yr hafaliad arwahanol symlaf sy’n disgrifio esblygiad poblogaeth yw model llinol:

lle Ni yw'r helaethrwydd yn y tymor i-th, a Ni + 1 yn disgrifio'r boblogaeth yn y tymor nesaf. Mae'n hawdd gweld y gall hafaliad o'r fath arwain at dri senario. Pan fydd a = 1, ni fydd esblygiad yn newid maint y boblogaeth, ac mae <1 yn arwain at ddifodiant, ac mae achos a> 1 yn golygu twf poblogaeth diderfyn. Bydd hyn yn arwain at anghydbwysedd mewn natur. Gan fod popeth ym myd natur yn gyfyngedig, mae'n gwneud synnwyr i addasu'r hafaliad hwn i gyfrif am y swm cyfyngedig o adnoddau. Dychmygwch fod plâu yn bwyta grawn, sydd bob blwyddyn yn union yr un fath. Os yw pryfed yn brin o'i gymharu â faint o fwyd y gallant ei atgynhyrchu, gallant atgynhyrchu ar bŵer atgenhedlu llawn, a bennir yn fathemategol gan y cysonyn a > 1. Fodd bynnag, wrth i nifer y plâu gynyddu, bydd bwyd yn brin a bydd y gallu atgenhedlu yn lleihau. Mewn achos tyngedfennol, gellir dychmygu bod cymaint o bryfed yn cael eu geni eu bod yn bwyta'r grawn i gyd cyn iddynt gael amser i atgynhyrchu, a bod y boblogaeth yn marw. Cynigiodd Verhulst fodel sy’n ystyried yr effaith hon o fynediad cyfyngedig at fwyd am y tro cyntaf ym 1838. Yn y model hwn, nid yw’r gyfradd twf yn gyson, ond mae’n dibynnu ar gyflwr y boblogaeth:

Dylai fod gan y berthynas rhwng y gyfradd twf a a Ni yr eiddo canlynol: os yw'r boblogaeth yn cynyddu, dylai'r gyfradd twf ostwng oherwydd ei bod yn anodd cael gafael ar fwyd. Wrth gwrs, mae yna lawer o swyddogaethau gyda'r eiddo hwn: mae'r rhain yn swyddogaethau o'r brig i lawr. Cynigiodd Verhulst y berthynas ganlynol:

lle mae a>0 a K>0 cyson yn nodweddu adnoddau bwyd ac fe'u gelwir yn gapasiti'r amgylchedd. Sut mae newid K yn effeithio ar gyfradd twf poblogaeth? Os yw K yn cynyddu, mae Ni/K yn gostwng. Yn ei dro, mae hyn yn arwain at y ffaith bod 1-Ni/K yn tyfu, sy'n golygu ei fod yn tyfu. Mae hyn yn golygu bod y gyfradd twf yn cynyddu a'r boblogaeth yn tyfu'n gyflymach. Felly gadewch i ni addasu'r model blaenorol (1) trwy dybio bod y gyfradd twf yn newid fel yn hafaliad (3). Yna cawn yr hafaliad

Gellir ysgrifennu'r hafaliad hwn fel hafaliad ailadroddus

lle mae xi = Ni / K a xi + 1 = Ni + 1 / K yn dynodi'r poblogaethau wedi'u hailraddio yn amser i ac yn amser i + 1. Gelwir hafaliad (5) yn hafaliad logistaidd.

Gall ymddangos, gydag addasiad mor fach, fod ein model yn hawdd ei ddadansoddi. Gadewch i ni edrych arno. Ystyriwch hafaliad (5) ar gyfer y paramedr a = 0.5 gan ddechrau o'r boblogaeth gychwynnol x0 = 0.45. Gellir cael gwerthoedd poblogaeth dilyniannol gan ddefnyddio hafaliad ailadroddus (5):

x₁= bwyell₀(1 t₀)

x₂= bwyell₁(1 t₁)

x₃= bwyell₂(1 t₂)

Er mwyn hwyluso cyfrifiadau yn (6), gallwn ddefnyddio'r rhaglen ganlynol (mae wedi'i ysgrifennu yn Python a gellir ei redeg, ymhlith pethau eraill, ar lwyfan Sage. Rydym yn argymell eich bod yn darllen y llyfr http://icse.us.edu .pl/e-lyfr . ), gan ddynwared ein model:

i = 0.5 x = 0.45 i mi yn ystod (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      argraffu x

Rydym yn cyfrifo gwerthoedd olynol xi ac yn sylwi eu bod yn tueddu i sero. Trwy arbrofi gyda'r cod uchod, mae hefyd yn hawdd gweld bod hyn yn wir waeth beth yw gwerth cychwynnol x0. Mae hyn yn golygu bod y boblogaeth yn marw o hyd.

Yn ail gam y dadansoddiad, rydym yn cynyddu gwerth y paramedr a i unrhyw werth yn yr ystod ae (1,3). Mae'n ymddangos bod y dilyniant xi wedyn yn mynd i swm penodol x * > 0. Gan ddehongli hyn o safbwynt ecoleg, gallwn ddweud bod maint y boblogaeth yn sefydlog ar lefel benodol, nad yw'n newid o dymor i dymor . Mae'n werth nodi nad yw gwerth x * yn dibynnu ar y cyflwr cychwynnol x0. Dyma effaith ymdrech yr ecosystem i sefydlogi - mae'r boblogaeth yn addasu ei maint i'r gallu i fwydo ei hun. Yn fathemategol, dywedir bod y system yn tueddu i bwynt sefydlog sefydlog, h.y. bodloni'r cydraddoldeb x = f(x) (mae hyn yn golygu bod y cyflwr ar yr eiliad nesaf yr un fath â'r eiliad flaenorol). Gyda Sage, gallwn ddelweddu'r esblygiad hwn yn graff trwy blotio'r boblogaeth dros amser.

Disgwyliwyd effaith sefydlogi o'r fath gan yr ymchwilwyr, ac ni fyddai'r hafaliad logistaidd (5) wedi denu llawer o sylw oni bai am y syndod. Mae'n troi allan bod ar gyfer rhai gwerthoedd y paramedr, model (5) yn ymddwyn mewn ffordd anrhagweladwy. Yn gyntaf, mae yna gyflyrau cyfnodol ac amlgyfnod. Yn ail, gyda phob cam tro, mae'r boblogaeth yn newid yn anwastad, fel symudiad ar hap. Yn drydydd, mae sensitifrwydd mawr i amodau cychwynnol: mae dwy gyflwr cychwynnol bron yn anwahanadwy yn arwain at esblygiad poblogaeth hollol wahanol. Mae'r holl nodweddion hyn yn nodweddiadol o ymddygiad sy'n debyg i symudiad cwbl ar hap ac a elwir yn anhrefn penderfyniaethol.

Gadewch i ni archwilio'r eiddo hwn!

Yn gyntaf, gadewch i ni osod gwerth y paramedr a = 3.2 ac edrych ar yr esblygiad. Gall ymddangos yn syndod nad yw'r boblogaeth y tro hwn yn cyrraedd un gwerth, ond dau, sy'n digwydd yn olynol bob ail dymor. Fodd bynnag, mae'n troi allan nad oedd y problemau yn dod i ben yno. Gydag a = 4, nid yw'r system bellach yn rhagweladwy. Edrychwn ar ffigur (2) neu byddwn yn cynhyrchu dilyniant o rifau ein hunain gan ddefnyddio cyfrifiadur. Mae'n ymddangos bod y canlyniadau ar hap yn unig ac yn dra gwahanol ar gyfer poblogaethau cychwynnol ychydig yn wahanol. Fodd bynnag, rhaid i'r darllenydd astud wrthwynebu. Sut gall system a ddisgrifir gan hafaliad penderfynol1, hyd yn oed un syml iawn, ymddwyn yn anrhagweladwy? Wel, efallai.

Nodwedd o'r system hon yw ei sensitifrwydd rhyfeddol i amodau cychwynnol. Mae'n ddigon i ddechrau gyda dau gyflwr cychwynnol sy'n amrywio o filiwn, ac mewn ychydig gamau yn unig byddwn yn cael gwerthoedd poblogaeth hollol wahanol. Gadewch i ni wirio ar y cyfrifiadur:

a = 4.0

x = 0.123 u=0.123+0.000001 PKC = [] i mi yn ystod (25): x = a*x*(1-x) u = a*u*(1-u) print x, y

Dyma fodel syml o esblygiad penderfyniaethol. Ond mae'r penderfyniaeth hon yn dwyllodrus, dim ond penderfyniaeth fathemategol ydyw. O safbwynt ymarferol, mae'r system yn ymddwyn yn anrhagweladwy oherwydd ni allwn byth osod yr amodau cychwynnol yn fathemategol yn union. Mewn gwirionedd, mae popeth yn cael ei bennu gyda chywirdeb penodol: mae gan bob offeryn mesur gywirdeb penodol, a gall hyn achosi anrhagweladwyedd ymarferol mewn systemau penderfyniaethol sydd ag eiddo anhrefn. Enghraifft yw modelau rhagweld y tywydd, sydd bob amser yn arddangos priodwedd anhrefn. Dyma pam mae rhagolygon tywydd tymor hir mor wael.

Mae dadansoddi systemau anhrefnus yn hynod o anodd. Fodd bynnag, gallwn ddatrys llawer o ddirgelion anhrefn yn eithaf hawdd gyda chymorth efelychiadau cyfrifiadurol. Gadewch inni dynnu'r diagram bifurcation, fel y'i gelwir, lle rydyn ni'n gosod gwerthoedd y paramedr a ar hyd yr echelin abscissa, a phwyntiau sefydlog sefydlog y mapio logistaidd ar hyd yr echelin trefn. Rydym yn cael pwyntiau sefydlog trwy efelychu nifer fawr o systemau ar yr un pryd a phlotio gwerthoedd ar ôl llawer o weithiau sampl. Fel y gallech ddyfalu, mae hyn yn gofyn am lawer o gyfrifiadau. Gadewch i ni geisio prosesu'r gwerthoedd canlynol yn "ofalus":

mewnforio numpy fel np Nx = 300 Hynny = 500 x = np.linspace(0,1,Nx) х = х + np.zeros((Na,Nx)) h = np.transpose (h) a=np.linspace(1,4,Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) i mi yn ystod (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] am a_,x_ i mewn zip(a.flatten(),x.flatten())] pwynt (pt, maint = 1, ffiguryn = (7,5))

Dylem gael rhywbeth tebyg i'r ffigwr (3). Sut i ddehongli'r llun hwn? Er enghraifft, gyda gwerth y paramedr a = 3.3, mae gennym 2 bwynt sefydlog sefydlog (mae maint y boblogaeth yr un peth bob ail dymor). Fodd bynnag, ar gyfer y paramedr a = 3.5 mae gennym 4 pwynt cyson (pob pedwerydd tymor mae gan y boblogaeth yr un maint), ac ar gyfer y paramedr a = 3.56 mae gennym 8 pwynt cyson (pob wythfed tymor mae gan y boblogaeth yr un maint). Ond ar gyfer y paramedr a≈3.57, mae gennym lawer iawn o bwyntiau sefydlog (nid yw maint y boblogaeth byth yn ailadrodd ac yn newid mewn ffyrdd anrhagweladwy). Fodd bynnag, gyda rhaglen gyfrifiadurol, gallwn newid cwmpas y paramedr a ac archwilio strwythur geometrig anfeidrol y diagram hwn gyda'n dwylo ein hunain.

Dim ond blaen y mynydd iâ yw hyn. Mae miloedd o bapurau gwyddonol wedi'u hysgrifennu am yr hafaliad hwn, ond mae'n dal i guddio ei gyfrinachau. Gyda chymorth efelychiad cyfrifiadurol, gallwch chi, heb hyd yn oed droi at fathemateg uwch, chwarae arloeswr byd deinameg aflinol. Rydym yn eich gwahodd i ddarllen y fersiwn ar-lein sy'n cynnwys manylion am lawer o briodweddau diddorol yr hafaliad logistaidd a ffyrdd diddorol o'u delweddu.

¹ Mae deddf benderfyniaethol yn gyfraith lle mae'r dyfodol yn cael ei bennu'n unigryw gan y cyflwr cychwynnol. Yr antonym yw'r gyfraith debygol. ² Mewn mathemateg, mae "arwahanol" yn golygu cael gwerthoedd o set gyfrifadwy benodol. Y gwrthwyneb yw "parhaus".