Hafaliadau, codau, seiffrau, mathemateg a barddoniaeth

Dywed Michal Shurek amdano’i hun: “Cefais fy ngeni yn 1946. Graddiais o Brifysgol Warsaw yn 1968 ac ers hynny rwyf wedi bod yn gweithio yn y Gyfadran Mathemateg, Gwybodeg a Mecaneg. Arbenigedd gwyddonol: geometreg algebraidd. Ymdriniais â bwndeli fector yn ddiweddar. Beth yw pelydr fector? Felly, mae angen i'r fectorau gael eu clymu'n dynn ag edau, ac mae gennym ni griw eisoes. Gwnaeth fy ffrind ffisegydd Anthony Sim i mi ymuno â'r Technegydd Ifanc (mae'n cyfaddef y dylai fod yn cael breindaliadau o fy ffioedd). Ysgrifennais ychydig o erthyglau ac yna arhosais, ac ers 1978 gallwch ddarllen bob mis yr hyn yr wyf yn meddwl am fathemateg. Rwy'n hoff iawn o fynyddoedd ac, er fy mod dros bwysau, rwy'n ceisio cerdded. Rwy'n meddwl mai athrawon yw'r rhai pwysicaf. Byddwn yn cadw gwleidyddion, beth bynnag fo’u hopsiynau, mewn ardal sy’n cael ei gwarchod yn drwm fel na allant ddianc. Bwydo unwaith y dydd. Mae bachle o Tulek yn fy hoffi.

Mae hafaliad yn debyg i seiffr i fathemategydd. Datrys hafaliadau, sef hanfod mathemateg, yw darllen testun seiffr. Mae diwinyddion wedi sylwi ar hyn ers y XNUMXfed ganrif. Ysgrifennodd John Paul II, a oedd yn gwybod mathemateg, a soniodd am hyn sawl gwaith yn ei bregethau - yn anffodus, mae'r ffeithiau wedi'u dileu o'm cof.

Mewn gwyddoniaeth ysgol, mae'n cael ei gynrychioli Pythagoras fel awdur y theorem ar rywfaint o ddibyniaeth mewn triongl sgwâr. Felly daeth yn rhan o'n hathroniaeth Eurocentric. Ac eto mae gan Pythagoras lawer mwy o rinweddau. Ef a osododd y ddyletswydd ar ei fyfyrwyr i "adnabod y byd", o "beth sydd y tu ôl i'r bryn hwn?" cyn astudio'r sêr. Dyna pam mae Ewropeaid wedi "darganfod" gwareiddiadau hynafol, ac nid i'r gwrthwyneb.

Mae rhai darllenwyr yn cofioPatrymau Viètea"; mae llawer o ddarllenwyr hŷn yn cofio'r term ei hun o'r ysgol a thua'r ffaith bod y cwestiwn wedi ymddangos mewn hafaliadau cwadratig. Mae'r rheoleidd-dra hyn yn "ideolegol" amgryptio gwybodaeth.

Dim rhyfedd un Francois Viet (1540-1603) yn ymwneud â cryptograffeg yn llys Harri IV (brenin Ffrainc cyntaf o linach Bourbon, 1553-1610) a llwyddodd i dorri'r seiffr a ddefnyddiwyd gan y Prydeinwyr yn y rhyfel yn erbyn Ffrainc. Felly chwaraeodd yr un rôl â'r mathemategwyr Pwylaidd (dan arweiniad Marian Rejewski) a ddarganfuodd gyfrinachau peiriant seiffr Enigma yr Almaen cyn yr Ail Ryfel Byd.

thema ffasiwn

Yn union. Mae'r pwnc "codau a seiffrau" wedi dod yn ffasiynol ers amser maith wrth addysgu. Rwyf eisoes wedi ysgrifennu am hyn sawl gwaith, ac ymhen dau fis bydd cyfres arall. Y tro hwn rwy'n ysgrifennu o dan argraff ffilm am ryfel 1920, lle'r oedd y fuddugoliaeth yn bennaf oherwydd torri côd y milwyr Bolsieficaidd gan dîm dan arweiniad y rhai ifanc ar y pryd. Vaclav Sierpinski (1882-1969). Na, nid Enigma mohono eto, dim ond cyflwyniad ydyw. Rwy’n cofio golygfa o’r ffilm lle mae Józef Piłsudski (a chwaraeir gan Daniil Olbrychski) yn dweud wrth bennaeth yr adran seiffr:

Roedd neges bwysig i'r negeseuon datgodiedig: ni fyddai milwyr Tukhachevsky yn derbyn cefnogaeth. Gallwch chi ymosod!

Roeddwn i'n adnabod Vaclav Sierpinski (os caf ddweud hynny: roeddwn yn fyfyriwr ifanc, roedd yn athro enwog), yn mynychu ei ddarlithoedd a'i seminarau. Rhoddodd yr argraff o ysgolhaig gwywedig, yn tynnu sylw, yn brysur gyda'i ddisgyblaeth a heb weld y byd arall. Bu'n darlithio'n benodol, yn wynebu'r bwrdd du, nid yn edrych ar y gynulleidfa ... ond roedd yn teimlo fel arbenigwr rhagorol. Un ffordd neu'r llall, roedd ganddo alluoedd mathemategol penodol - er enghraifft, ar gyfer datrys problemau. Mae yna eraill, gwyddonwyr sy'n gymharol wael am ddatrys posau, ond sydd â dealltwriaeth ddofn o'r theori gyfan ac sy'n gallu cychwyn meysydd creadigrwydd cyfan. Mae angen y ddau arnom - er y bydd yr un cyntaf yn symud yn gyflymach.

Ni siaradodd Vaclav Sierpinski erioed am ei gyflawniadau yn 1920. Hyd at 1939, yn bendant roedd yn rhaid cadw hyn yn gyfrinachol, ac ar ôl 1945, nid oedd y rhai a ymladdodd â Rwsia Sofietaidd yn mwynhau cydymdeimlad yr awdurdodau ar y pryd. Mae fy argyhoeddiad bod angen gwyddonwyr, fel byddin, wedi'i brofi: "rhag ofn." Dyma'r Arlywydd Roosevelt yn galw Einstein:

Dywedodd y mathemategydd rhagorol o Rwsia Igor Arnold yn agored ac yn drist bod y rhyfel wedi cael dylanwad mawr ar ddatblygiad mathemateg a ffiseg (radar a GPS hefyd darddiad milwrol). Nid wyf yn mynd i mewn i agwedd foesol y defnydd o'r bom atomig: dyma ymestyn y rhyfel am flwyddyn a marwolaeth sawl miliwn o'u milwyr eu hunain - mae yna ddioddefaint sifiliaid diniwed.

***

Rwy'n rhedeg i ffwrdd i ardaloedd cyfarwydd - k Roedd llawer ohonom yn chwarae gyda'r codau, efallai sgowtio, efallai yn union fel hynny. Mae seiffrau syml, yn seiliedig ar yr egwyddor o ddisodli llythrennau â llythrennau eraill neu rifau eraill, yn cael eu torri'n rheolaidd os ydym yn dal ychydig o gliwiau yn unig (er enghraifft, rydym yn dyfalu enw'r brenin). Mae dadansoddiad ystadegol hefyd yn helpu heddiw. Yn waeth, pan fydd popeth yn newidiol. Ond y peth gwaethaf yw pan nad oes rheoleidd-dra. Ystyriwch y cod a ddisgrifir yn The Adventures of the Good Soldier Schweik. Cymerwch lyfr, er enghraifft, The Flood. Dyma'r awgrymiadau ar y dudalen gyntaf a'r ail.

Rydym am amgodio'r gair "CAT". Rydym yn agor ar dudalen 1 a'r eiliad nesaf. Ar dudalen 1, cawn fod y llythyren K yn ymddangos gyntaf yn y 59fed lle. Cawn y nawfed gair a deugain ar y gwrthwyneb, yr ochr arall. Mae'n air "a". Yn awr y llythyren O. Ar y chwith yw yr 16eg gair, a'r unfed ar bymtheg ar y dde yw "Mr." Mae'r llythyren T yn y 95fed lle, os ydw i'n cyfrif yn gywir, a'r naw deg pumed gair o'r dde yw "o". Felly, CAT = 1 ARGLWYDD O.

Seiffr "digaladwy", er ei fod yn boenus o araf ar gyfer amgryptio ac ... ar gyfer dyfalu. Tybiwch ein bod am basio'r llythyren M. Gallwn wirio a ydym yn ei amgodio gyda'r gair "Wołodyjowski". Ac ar ein hôl ni maen nhw eisoes yn paratoi cell carchar. Dim ond ar un arall y gallwn ni ddibynnu arno! Yn ogystal, mae gwrth-ddeallusrwydd yn nodi adroddiadau am weithwyr cudd bod cwsmeriaid wedi bod yn fodlon prynu'r gyfrol gyntaf o The Flood ers peth amser.

Mae fy erthygl yn gyfraniad at y traethawd ymchwil hwn: gall hyd yn oed syniadau mwyaf rhyfedd mathemategwyr gael eu cymhwyso mewn arfer a ddeellir yn fras. Er enghraifft, a yw'n bosibl dychmygu darganfyddiad mathemategol llai defnyddiol na'r prawf ar gyfer rhanadwyedd erbyn ... erbyn 47?

Pryd mae ei angen arnom mewn bywyd? Ac os felly, bydd yn haws ceisio ei wahanu. Os yw'n rhannu, yna mae'n dda, os na, yna ... yn ail mae'n dda (rydym yn gwybod nad yw'n rhannu).

Sut i rannu a pham

Ar ôl y cyflwyniad hwn, gadewch i ni symud ymlaen i A ydych chi ddarllenwyr yn gwybod unrhyw arwyddion o ranadwyedd? Yn bendant. Mae eilrifau yn gorffen mewn 2, 4, 6, 8, neu sero. Mae rhif yn rhanadwy â thri os yw cyfanswm ei ddigidau yn rhanadwy â thri. Yn yr un modd, gyda'r arwydd o ranadwyedd â naw - rhaid i swm y digidau fod yn rhanadwy â naw.

Pwy sydd ei angen? Byddwn i'n dweud celwydd pe bawn i'n argyhoeddi'r Darllenydd ei fod yn dda ar gyfer unrhyw beth heblaw am... aseiniadau ysgol. Wel, a nodwedd arall o ranadwyedd erbyn 4 (a beth ydyw, Ddarllenydd? Efallai y byddwch chi'n ei ddefnyddio pan fyddwch chi eisiau gwybod ar ba flwyddyn mae'r Olympiad nesaf yn disgyn ...). Ond y nodwedd o ranadwyedd gan 47? Mae hyn eisoes yn gur pen. A fyddwn ni byth yn gwybod a oes modd rhannu rhywbeth â 47? Os oes, cymerwch gyfrifiannell i weld.

Dyma. Rwyt ti'n iawn, Ddarllenydd. Ac eto, darllenwch ymlaen. Croeso.

Arwydd o ranadwyedd erbyn 47: Mae'r rhif 100+ yn rhanadwy â 47 os a dim ond os yw 47 yn rhanadwy â +8.

Bydd y mathemategydd yn gwenu gyda boddhad: "Gee, pert." Ond mathemateg yw mathemateg. Mae tystiolaeth yn bwysig, a rhoddwn sylw i'w harddwch. Sut i brofi ein nodwedd? Mae'n syml iawn. Tynnwch o 100 + y rhif 94 - 47 = 47 (2 -). Rydyn ni'n cael 100+-94+47=6+48=6(+8).

Rydyn ni wedi tynnu rhif sy'n rhanadwy â 47, felly os yw 6 (+ 8) yn rhanadwy â 47, yna mae 100 + hefyd. Ond mae'r rhif 6 yn coprime i 47, sy'n golygu bod 6 (+ 8) yn rhanadwy â 47 os a dim ond os yw'n + 8. Diwedd y prawf.

gadewch i ni gael golwg Rhai enghreifftiau.

mae 8805685 yn rhanadwy â 47? Os oes gennym ni wir ddiddordeb ynddo, fe gawn ni wybod ynghynt dim ond trwy rannu ni fel y cawsom ein dysgu yn yr ysgol elfennol. Un ffordd neu'r llall, nawr mae gan bob ffôn symudol gyfrifiannell. Wedi'i rannu? Ie, preifat 187355.

Wel, gadewch i ni weld beth mae arwydd rhaniad yn ei ddweud wrthym. Rydyn ni'n datgysylltu'r ddau ddigid olaf, yn eu lluosi ag 8, yn ychwanegu'r canlyniad i'r “rhif cwtogi” ac yn gwneud yr un peth â'r rhif canlyniadol.

8805685 → 88056 + 8 · 85 = 88736 → 887 + 8 · 36 = 1175 → 11 + 8 · 75 = 611 → 6 + 8 · 11 = 94 .

Gwelwn fod 94 yn rhanadwy gyda 47 (y cyniferydd yw 2), sy'n golygu bod y rhif gwreiddiol hefyd yn ranadwy. Iawn. Ond beth os ydym yn parhau i gael hwyl?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47 .

Nawr mae'n rhaid i ni stopio. Mae pedwar deg saith yn rhanadwy â 47, iawn?

Oes gwir angen i ni stopio? Beth os awn ni ymhellach? O fy Nuw, gall unrhyw beth ddigwydd ... byddaf yn hepgor y manylion. Efallai dim ond y dechrau:

47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752 .

Ond, yn anffodus, mae mor gaethiwus â chnoi hadau ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47 .

Ah, pedwar deg saith. Digwyddodd o'r blaen. Beth sydd nesaf? . Yr un peth. Mae'r niferoedd yn mynd mewn dolen fel hyn:

Mae'n ddiddorol iawn. Cymaint o ddolenni.

Dau enghreifftiau canlynol.

Rydyn ni eisiau gwybod a yw 10017627 yn rhanadwy â 47. Pam mae angen y wybodaeth hon arnom? Cofiwn yr egwyddor: gwae gwybodaeth nad yw'n helpu'r gwybodus. Mae gwybodaeth bob amser yno i rywbeth. Bydd yn rhywbeth, ond yn awr nid wyf am esbonio. Ychydig mwy o gyfrifon:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

" Newidiodd ei ewythr o fwyell i ffon." Beth gawn ni o hyn i gyd?

Wel, gadewch i ni ailadrodd cwrs y trafodion. Hynny yw, byddwn yn parhau i wneud hyn (hynny yw, y gair “iterate”).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235 .

Gadewch i ni stopio'r gêm, rhannwch fel yn yr ysgol (neu ar gyfrifiannell): 235 = 5 47. Bingo. Gellir rhannu'r rhif gwreiddiol 10017627 â 47.

Da iawn!

Beth os awn ni ymhellach? Credwch fi, gallwch chi ei wirio.

Ac un ffaith ddiddorol arall. Rydym am wirio a oes modd rhannu 799 â 47. Rydym yn defnyddio'r swyddogaeth rhanadwyedd. Rydyn ni'n datgysylltu'r ddau ddigid olaf, yn lluosi'r rhif canlyniadol ag 8 ac yn ychwanegu at yr hyn sydd ar ôl:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799 .

Beth sydd gennym? A yw 799 yn rhanadwy â 47 os a dim ond os yw 799 yn rhanadwy â 47? Ydy, mae hynny'n iawn, ond nid oes angen mathemateg ar gyfer hyn !!! Mae'r olew yn olewog (o leiaf mae'r olew hwn yn olewog).

Am y ddeilen, môr-ladron a diwedd jôcs!

Dwy stori arall. Ble mae'r lle gorau i guddio deilen? Mae'r ateb yn amlwg: yn y goedwig! Ond sut allwch chi ddod o hyd iddo felly?

Yr ail a wyddom o lyfrau am fôr-ladron a ddarllenasom amser maith yn ôl. Gwnaeth y môr-ladron fap o'r lle y claddasant y trysor. Roedd eraill naill ai'n ei ddwyn neu wedi ennill y frwydr. Ond nid oedd y map yn nodi ar gyfer pa ynys y'i bwriadwyd. Ac edrychwch drosoch eich hun! Wrth gwrs, fe wnaeth y môr-ladron ymdopi â hyn (artaith) - gall y seiffrau rydw i'n siarad amdanyn nhw hefyd gael eu tynnu gan ddefnyddio dulliau o'r fath.

Diwedd jôcs. Darllenydd! Rydyn ni'n creu seiffr. Rwy'n ysbïwr cudd ac yn defnyddio "Technegydd Iau" fel fy mlwch cyswllt. Anfonwch negeseuon wedi'u hamgryptio ataf fel a ganlyn.

Yn gyntaf, troswch y testun i gyfres o rifau gan ddefnyddio'r cod: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Fel y gwelwch, nid ydym yn defnyddio diacritigau Pwyleg (h.y. heb ą, ę, ć, ń, ó, ś) a di-Pwyleg q, v - ond mae'r x di-Bwylaidd yno rhag ofn. Gadewch i ni gynnwys 25 arall fel gofod (gofod rhwng geiriau). O, y peth pwysicaf. Cymhwyswch god rhif 47.

Rydych chi'n gwybod beth mae hynny'n ei olygu. Rydych chi'n mynd at ffrind mathemategydd.

Lledai llygaid y cyfaill mewn syndod.

Rydych chi'n ateb yn falch:

Mae mathemategydd yn eich cynysgaeddu â'r nodwedd hon... ac rydych chi'n gwybod yn barod bod swyddogaeth sy'n edrych yn anaml yn cael ei defnyddio ar gyfer amgryptio

oherwydd bod patrwm o'r fath yn weithred a ddisgrifir

100 + → + 8 .

Felly, pan fyddwch chi eisiau gwybod beth mae rhif yn ei olygu, fel 77777777 mewn neges wedi'i hamgryptio, rydych chi'n defnyddio'r swyddogaeth

100 + → + 8

nes i chi gael rhif rhwng 1 a 25. Nawr edrychwch ar y cod alffaniwmerig penodol. Gawn ni weld: 77777777 → … Gadawaf hyn i chi fel tasg. Ond gadewch i ni weld pa lythyren 48 yn cuddio? Gadewch i ni ddarllen:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Yna cawn yn ein tro:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432 …

Nid yw'r diwedd yn y golwg. Dim ond ar ôl y trigainfed amser (!) y bydd rhif llai na 25 yn ymddangos, sef 3, sy'n golygu mai 48 yw'r llythyren C.

A beth mae'r neges hon yn ei roi inni? (Rwyf am eich atgoffa ein bod yn defnyddio cod rhif 47):

80 - 152 - 136 - 546 - 695719 - 100 - 224 - 555 - 412 - 111 - 640 - 102 - 152 - 12881 - 444 - 77777777 - 59 - 408 - 373 - 1234567 - 341 - XNUMX - XNUMX - XNUMX - XNUMX -

Wel, meddyliwch amdano, beth sydd mor gymhleth, rhai cyfrifon. Rydyn ni wedi dechrau. Cynnar 80. Rheol hysbys:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326 .

Mae'n parhau fel hyn:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Bwyta! Llythyren gyntaf y neges yw K. Phew, hawdd, ond pa mor hir y bydd yn ei gymryd?

Gawn ni hefyd weld faint o drafferth sydd gyda ni gyda'r rhif 1234567. Dim ond ar yr unfed tro ar bymtheg y cawn ni rif llai na 25, sef 12. Felly 1234567 yw L.

Iawn, efallai y bydd rhywun yn dweud, ond mae'r gweithrediad rhifyddol hwn mor syml fel y bydd ei raglennu ar gyfrifiadur yn torri'r cod ar unwaith. Ie ei fod yn wir. Mae'r rhain yn gyfrifiadau cyfrifiadurol syml. syniad gyda cipher cyhoeddus ac mae hefyd yn ymwneud â gwneud y cyfrifiadau yn anodd i'r cyfrifiadur. Gadewch iddo weithio am o leiaf can mlynedd. A fydd yn dadgryptio'r neges? Dim ots. Ni fydd ots am amser hir. Dyma (fwy neu lai) yw hanfod seiffrau cyhoeddus. Gallant gael eu torri os ydych chi'n gweithio am amser hir iawn ... nes nad yw'r newyddion yn berthnasol mwyach.

 mae bob amser wedi rhoi genedigaeth i "gwrth-arfau". Dechreuodd y cyfan gyda chleddyf a tharian. Mae'r gwasanaethau cyfrinachol yn talu symiau enfawr o arian i fathemategwyr dawnus i ddyfeisio dulliau cripto na fydd cyfrifiaduron (gan gynnwys y rhai a grëwyd gennym ni) yn gallu cracio yn y XNUMXth ganrif.

yr ail ganrif ar hugain? Nid yw mor anodd gwybod bod yna lawer o bobl yn y byd eisoes a fydd yn byw yn y ganrif hardd hon!

O huh? Beth os gofynnaf (fi, y Swyddog Cudd y cysylltodd y “Technegydd Ifanc”) i amgryptio gyda rhif cod 23? Neu 17? Syml:

Bydded i ni byth orfod defnyddio mathemateg at y fath ddibenion.

***

Mae teitl yr erthygl yn ymwneud â barddoniaeth. Beth sydd ganddi i'w wneud â hyn?

Fel beth? Mae barddoniaeth hefyd yn amgryptio'r byd.

Как?

Yn ôl eu dulliau - yn debyg i rai algebraidd.